1. 概述

KD樹是一種查詢索引結構，廣泛應用於資料庫索引中。從概念的角度講，它是一種高緯資料的快速查詢結構，本文首先介紹1維資料的索引查詢，然後介紹2維KD樹的建立和查詢，相關定理和推論也簡單列出，本文爭取用15分鐘的時間，讓大家快速理解KD樹。

2. 1維資料的查詢

假設在資料庫的表格T中儲存了學生的語文成績chinese、數學成績math、英語成績english，如果要查詢語文成績介於30～93分的學生，如何處理？假設學生數量為N，如果順序查詢，則其時間複雜度為O(N)，當學生規模很大時，其效率顯然很低，如果使用平衡二叉樹，則其時間複雜度為O(logN)，能極大地提高查詢效率。平衡二叉樹示意圖為：

圖1：平衡二叉樹示意圖

對於1維資料的查詢，使用平衡二叉樹建立索引即可。如果現在將查詢條件變為：語文成績介於30～93，數學成績結餘30～90，又該如何處理呢？

如果分別使用平衡二叉樹對語文成績和數學成績建立索引，則需要先在語文成績中查詢得到集合S1，再在數學成績中查詢得到集合S2，然後計算S1和S2的交集，若|S1|=m,|S2|=n，則其時間複雜度為O(m*n)，有沒有更好的辦法呢？

3. KD樹

針對多維資料索引，是否也存在類似的一維的索引方法呢？先看2維資料的集合示意圖：

圖2: 2維資料示意圖

如果先根據語文成績，將所有人的成績分成兩半，其中一半的語文成績<=c1，另一半的語文成績>c1，分別得到集合S1,S2;然後針對S1，根據數學成績分為兩半，其中一半的數學成績<=m1,另一半的數學成績>m1，分別得到S3,S4，針對S2，根據數學成績分為兩半，其中一半的數學成績<=m2,另一半的數學成績>m2，分別得到S5,S6；再根據語文成績分別對S3,S4，S5,S6繼續執行類似劃分得到更小的集合，然後再在更小的集合上根據數學成績繼續,...

上面描述的就是構建KD樹的基本思路，其構建後的KD樹如下圖所示：

圖3: KD樹示意圖

如圖所示，l1左邊都是語文成績低於45分，l1右邊都是語文成績高於45分的；l2下方都是語文成績低於45分且數學成績低於50分的，l2上方都是語文成績低於45分且數學成績高於50分的，後面以此類推。下面的圖示，更清晰地表示了KD樹的結構及其對應的二叉樹：

圖4: KD樹及對應的二叉樹

在瞭解了KD樹的基本原理後，剩下的工作就是如何構建KD樹以及如何在KD樹上查詢了。

3.1 KD樹構建演算法

相對而言，構建KD樹是針對高維資料，需要針對每一維都進行二分，針對二維資料的KD樹構建演算法如下圖5所示：

圖5:KD樹構建演算法

其中的P表示待構建的元素集合，depth表示當前是KD樹的第幾層，如果depth是偶數，通過縱向線對集合進行劃分；如果depth是奇數，通過橫向線進行劃分（3～5行）；第6、7行遞迴進行KD樹中子樹的構建。

圖5中的演算法時間複雜度為：O(nlogn)，感興趣的同學可以寫出遞推公式公式進行推到，演算法導論中專門講了這個遞推公式。

3.2 KD樹查詢演算法

在構建了KD樹的基礎上，如何進行查詢其實是一個相對簡單的問題了，在這裡需要注意的是，在KD樹中每一層劃分所依據的是哪一維的資料，其它的根二叉樹其實沒有差別。KD樹查詢演算法如下圖所示：

圖6: 查詢演算法

圖6中演算法的v表示KD樹中當前搜尋的子樹，R表示是一個高維資料的區域，區域的概念如圖7所示：

圖7: 區域示意圖

如果v是葉子結點且屬於區域R，則直接返回（第1行）；如果v是非葉子結點，則比較R與v的左子樹lc(v)是否有交集，如果有且lc(v)完全被R覆蓋，則lc(v)是所查詢結果的一部分，如果不是完全覆蓋，則遞迴查詢lc(v)(36行)；對右子樹也是類似的操作（710）。演算法的時間複雜度為：O(sqrt(n) + k)，其中k是最後的結果中元素的個數，其遞推公式公式為：

圖8: KD樹查詢遞推公式

上述演算法中的二維也可升級為3維，其思維方式與從1維升級到2維一致，相應的構建演算法和查詢演算法也與2維的一致，感興趣的童鞋可以分析相應演算法的時間複雜度。

4. 小結

本文以從1維資料索引跳變到2維資料索引的方式，引出了KD樹，並介紹了KD樹的構建與索引查詢演算法。KD樹主要應用在高維資料索引，特別是空間資料庫的索引，x和y分別表示經度和緯度，能較好的處理空間上的查詢效率問題，如果在x和y再加一個時間維度，也能較好地處理時空資料索引查詢。

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