對一個常系數線性遞推式$$f_n = \sum_{i=1}^k a_i \times f_{n-i}$$

矩陣快速冪需要 $O(k^3logn)$ ?

這篇文章將教您在至多為 $O(k^2logn + k^4)$ 時間內搞這個式子

有什麽用嘛，可能對我這種省選註定退役的人沒啥用，但對於 NOI 及以上比賽想 AK 的同學們可能有用

1.矩陣的特征多項式

矩陣 $A$ 的特征多項式是一個關於 $\lambda$ 的函數 $f(\lambda)=det(\lambda I - A)$，其中 $I$ 為單位矩陣，$det()$ 為行列式

2.Caylay-Hamilton 定理

就一句話，$f(A) = 0$，證明略

3.求矩陣特征多項式的方法

　　1) 消一消　

　　考慮根據定義，需要求行列式，消一下就可以了，復雜度 $O(k^5)$ 或 $O(k^4)$

　　2)插一插

　　考慮到特征多項式是一個 $k$ 次的多項式，我們可以把 $\lambda = 0,1,2, \cdots ,k$ 時的點值求出來，然後拉格朗日插值，復雜度 $O(k^4)$

4.有啥用

根據小學知識

$$被除數 ÷ 除數 = 商 \cdots \cdots 余數$$

我們發現，一個次數大於等於 $k$ 的矩陣冪，可以把它除以 $f(A)$

之後我們發現：因為除數等於 $0$ ，所以$余數 = 被除數$

然後我們發現，余數的次數不超過 $k$

於是我們可以用類似快速冪的做法倍增，把 $n$ 次的矩陣冪變成一個不超過 $k$ 次的多項式

其中每一步如果用快速的多項式取模 (FFT) ，是 $O(klogk)$ 的，如果暴力，是 $O(k^2)$ 的

這一步的復雜度是 $O(klogklogn)$ 或者 $O(k^2logn)$

然後就做完了。。。看上去很簡單，但我們可以數數，一道完整的題，您要寫多少代碼

1.多項式相關操作（FFT，求逆，取膜）

2.構造矩陣（dfs / 根據題目情況而定）

3.構造特征多項式（消元 / 拉格朗日插值）

4.倍增的單步轉移

5.倍增的全過程

嗯...不是很長？

[高端操作]常系數線性遞推式