Description

二維平面上有兩隻螞蟻初始在$(1,0)$點，有三條直線：

$1.y=0$，沒有螞蟻可以越過這條線

$2.y=\frac{a}{b}x(a,b>0)$，只有第二隻螞蟻可以越過這條線

$3.y=\frac{c}{d}x(c,d>0)$，只有第一隻螞蟻可以越過這條線

注意到螞蟻只能往上走和往右走，且如果螞蟻可以往上走就先往上走，不能往上走了再往右走，故兩隻螞蟻的路徑唯一，問被兩隻螞蟻均經過的整點個數

Input

第一行一整數$T$表示用例組數，每組用例輸入四個整數$a,b,c,d$

$(1\le T\le 10^5,1\le a,b,c,d\le 10^9)$

Output

如果兩隻螞蟻均經過的整點有無限個則輸出$-1$，否則輸出整點個數，結果模$998244353$

Sample Input

5 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 2 1 1 100 1 99 12 34 56 78

Sample Output

-1 2 1 5049 3

Solution

顯然若兩條直線重合則兩隻螞蟻均經過的整點有無窮個，假設$\frac{a}{b}>\frac{c}{d}$，兩隻螞蟻若都經過$(x,y)$點，那麼螞蟻要麼從$(x,y-1)$往上走到達$(x,y)$點，要麼從$(x-1,y)$點無法到達$(x-1,y+1)$點只能往右走到達$(x,y)$點，故有 $\left\{ \begin{array}{lcl} y\le \frac{a}{b}x\\ y\le \frac{c}{d}x\\ y+1>\frac{a}{b}(x-1)\\ y+1>\frac{c}{d}(x-1)\\ \end{array} \right.$

由$\frac{a}{b}>\frac{c}{d}$知只需滿足$2,3$式即可，問題轉化為求$y=\frac{c}{d}x$和$y+1=\frac{a}{b}(x-1)$與$x$軸圍成三角形中整點的個數（不包括原點以及$y+1=\frac{a}{b}(x-1)$上的整點），這顯然是有窮個點，假設兩條直線內整點橫座標最大值為$X$，則輕易得到 $X=\lfloor\frac{(a+b)d}{ad-bc}\rfloor$ 那麼我們只要求出$y=\frac{c}{d}x$在$x\in [1,X]$範圍內與$x$軸圍成整點的個數，再減去$y+1=\frac{a}{b}(x-1)$在$x\in [1,X]$範圍內與$x$軸圍成的縱座標非負的整點個數即為答案

對於第一部分，顯然有 $X+\sum\limits_{x=1}^X\lfloor\frac{cx}{d}\rfloor$ 對於第二部分，先把直線向左平移一個單位，然後想上平移一個答案，則第二部分答案等價於$y=\frac{a}{b}x$在$x\in [0,X-1]$範圍內與$x$軸圍成的縱座標為正的整點個數，也即為 $\sum\limits_{x=0}^{X-1}\lfloor\frac{ax}{b}\rfloor$ 令$f(a,b,c,n)=\sum\limits_{x=0}^n\lfloor\frac{ax+b}{c}\rfloor$，則所求答案為$X+f(c,0,d,X)-f(a,0,b,X-1)$，只要求出$f$即可

1.若$a=0$，則顯然$f(a,b,c,n)=(n+1)\cdot \lfloor\frac{b}{c}\rfloor$

2.若$a,b$不全小於$c$，那麼把這個下取整的兩塊整數拿出來，也即 $\lfloor\frac{ax+b}{c}\rfloor=\lfloor\frac{a}{c}\rfloor \cdot x+\lfloor\frac{b}{c}\rfloor+\lfloor\frac{(a\%c)\cdot x+b\%c}{c}\rfloor$ 進而有 $f(a,b,c,n)=f(a\%c,b\%c,c,n)+\frac{n(n+1)}{2}\cdot \lfloor\frac{a}{c}\rfloor+(n+1)\cdot \lfloor\frac{b}{c}\rfloor$ 3.若$0<a<c,0\le b<c$，回到該式的幾何意義，即為直線$y=\frac{ax+b}{c}$在$x\in [0,n]$範圍內與$x$軸圍成的區域中縱座標為正的整點個數，由於$\frac{b}{c}<1$，故該範圍沒有橫座標$x=0$的整點，記該區域整點縱座標最大值為$m$，則有 $m=\lfloor\frac{an+b}{c}\rfloor$ 對於$[1,n]\times [1,m]$範圍內的$nm$個整點，不合法整點為直線$y=\frac{ax+b}{c}$與$y$軸圍成的、橫座標為正且不在直線上的整點，這些整點也即為$y=\frac{ax+b-1}{c}$與$y$軸圍成的橫座標為正的整點個數，交換兩個座標軸即為$y=\frac{cx-b-1}{a}$

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