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定理介紹

Burnside引理

對於一個置換$f$，若一個著色方案$s$經過置換後不變，則$s$是$f$的一個不動點，將$f$的不動點的數目記作$C(f)$，那麼等價類的數目就是$C(f)$的平均數

Pólya定理

假設有$k$種顏色，如果置換$f$能寫成$m(f)$種迴圈，那麼等價類的個數就是$k^{m(f)}$的平均數

題解

對於項鍊，顯然我們有$n$種置換，我們給項鍊編號為$0,1,...,n-1$，對於一種置換如果我把每顆珠子向後移$i$的距離，那麼這棵珠子會移到$0,gcd(n,i),2gcd($

程式碼

//置換 polya定理
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll fastpow(ll a, ll b)
{
	ll t=a, ans=1;
	for(;b;b>>=1,t=t*t)if(b&1)ans*=t;
	return ans;
}
ll gcd(ll a, ll b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int main()
{
	ll n, t, ans, i;
	while(~scanf("%lld%lld",&n,&t))
	{
		ans=0;
		for(i=0;i<n;i++)ans+=fastpow(t,gcd(n,i));
		printf("%lld ",ans/n);
		if(n&1)ans+=n*fastpow(t,n/2+1);
		else ans+=n/2*fastpow(t,n/2)+n/2*fastpow(t,n/2+1);
		printf("%lld\n",ans/n/2);
	}
	return 0;
}