UVA10294 Arif in Dhaka (群論,Polya定理)

• 題意 :

給你一個長為\(n\)的項鏈和手鐲,每個珠子有\(m\)種顏色.

兩個手鐲定義為相同,即它們通過翻轉和旋轉得到一樣的手鐲.

兩個項鏈定義為相同,即它們只能通過旋轉得到一樣的項鏈.

求出有多少種本質不同的項鏈和手鐲.

\((1 \le n \le 50, 1 \le m \le 10)\)

• 題解 : (參考了一下這篇大佬博客)

大白書上的原題,一個裸的Polya定理(逃

Polya定理 : \[L=\frac{1}{|G|}\sum \limits _{i=1} ^{|G|} m^{c(g_i)}\]

其中\(G=\{g_1, ..., g_s\}\)

\(c(g_i)\)為置換\(g_i\)的循環節個數(等價類個數) \(L\)為本質不同的方案數.

• 首先考慮旋轉 :

  假設當前旋轉\(i\)顆珠子,那麽就有\(\gcd (n,i)\)個等價類(循環),每個循環長度則為\(\frac{n}{\gcd(n,i)}\).

  這個證明同樣參考了之前那篇博客....(我用LaTeX再打一下..)

  將珠子從\(0\)到\(n-1\)標號,那麽對於旋轉\(i\)位的置換,在以\(0\)號為起點,長度為\(t\)的一個循環節,

  元素標號就為\(0,i \bmod n, (2i) \bmod n, ... , ((t-1)i) \bmod n\).

  所以就有\(t \cdot i \bmod n = 0\)

  ,即有\(t \cdot i = n \cdot k\). 使左右成立的最小正整數就為\(lcm (n, i)\).

  那麽\(t \cdot i = lcm(n,i)\)所以\(t=\frac{lcm(n,i)}{i}=\frac{n}{\gcd(n,i)}\). 那麽等價類就是\(\frac{n}{t}=\gcd(n,i)\).

  所以這些的貢獻就是\(a=\sum \limits_{i=0}^{n-1} m^{\gcd(i,n)}?\).

• 再考慮一下翻轉 :

  ?

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