掌握樹狀陣列~徹底入門
先貼一下樹狀陣列的模板程式碼:
int lowbit(int i) { return i & -i;//或者是return i-(i&(i-1));表示求陣列下標二進位制的非0最低位所表示的值 } void update(int i,int val)//單點更新 { while(i<=n){ C[i]+=val; i+=lowbit(i);//由葉子節點向上更新樹狀陣列C,從左往右更新 } } int sum(int i)//求區間[1,i]內所有元素的和 { int ret=0; while(i>0){ ret+=C[i];//從右往左累加求和 i-=lowbit(i); } return ret; }
模板中最常見的三個函式:①取陣列下標二進位制非0最低位所表示的值;②單點更新;③區間查詢。樹狀陣列,顧名思義是樹狀的陣列,我們首先引入二叉樹,葉子節點代表A[1]~A[8]。
現在變形一下:
現在定義每一列的頂端節點C陣列(其實C陣列就是樹狀陣列),如圖:
C[i]代表子樹的葉子節點的權值之和,如圖可以知道:
C[1]=A[1];
C[2]=A[1]+A[2];
C[3]=A[3];
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
C[5]=A[5];
C[6]=A[5]+A[6];
C[7]=A[7];
C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];
將C陣列的下標i轉化成二進位制:
1=(001) C[1]=A[1];
2=(010) C[2]=A[1]+A[2];
3=(011) C[3]=A[3];
4=(100) C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
5=(101) C[5]=A[5];
6=(110) C[6]=A[5]+A[6];
7=(111) C[7]=A[7];
8=(1000) C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];
對照式子可以發現:C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......+A[i];(k為i的二進位制中從最低位到最高位連續零的個數)
例如:當i=8時,k=3,可以自行代入驗證。現在引入lowbit(x):其實就是取出x的二進位制的最低位1,換言之,lowbit(x)= 2^k,k的含義與上面相同。
1 int lowbit(int i)
2 {
3 return i&(-i);
4 }
5 /*
6 -i 代表i的負數 計算機中負數使用對應的正數的補碼來表示
7 例如 : i=6(0110) 此時 k=1
8 -i=-6=(1001+1)=(1010)
9 i&(-i)=(0010)=2=2^1
10 C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];
11 C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];
12 */
接下來是區間查詢(求和):利用C[i]陣列,求A陣列中前i項和:舉兩個栗子:
①i=7,前7項和:sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7];
而C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];C[6]=A[5]+A[6];C[7]=A[7];可以得到:sum[7]=C[4]+C[6]+C[7]。
陣列下標寫成二進位制:sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)];
②i=5,前5項和:sum[5]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5];
而C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];C[5]=A[5];可以得到:sum[5]=C[4]+C[5];
陣列下標寫成二進位制:sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)];
細細觀察二進位制,樹狀陣列追其根本就是二進位制的應用,結合程式碼演示一下程式碼過程:
1 int sum(int i)//求區間[1,i]所有元素的和
2 {
3 int ret=0;
4 while(i>0){
5 ret+=C[i];//從右往左區間求和
6 i-=lowbit(i);
7 }
8 return ret;
9 }
對於i=7進行演示:
7(111) ans+=C[7]
lowbit(7)=001 7-lowbit(7)=6(110) ans+=C[6]
lowbit(6)=010 6-lowbit(6)=4(100) ans+=C[4]
lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000) break;
對於i=5進行演示:
5(101) ans+=C[5]
lowbit(5)=001 5-lowbit(5)=4(100) ans+=C[4]
lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000) break;
最後是單點更新:當我們修改A陣列中某個值時,應當如何更新C陣列呢?回想一下,區間查詢的過程,再看一下上文中列出的過程。這裡宣告一下:單點更新實際上是不修改A陣列的,而是修改樹狀陣列C,向上更新區間長度為lowbit(i)所代表的節點的值。
1 void update(int i,int val)//更新單節點的值
2 {
3 while(i<=n){
4 C[i]+=val;
5 i+=lowbit(i);//由葉子節點向上更新a陣列
6 }
7 }
8 //可以發現 更新過程是查詢過程的逆過程
9 //由葉子結點向上更新C[]陣列
如圖:當在A[1]加上值val,即更新A[1]時,需要向上更新C[1],C[2],C[4],C[8],這個時候只需將這4個節點每個節點的值加上val即可。這裡為了方便大家理解,人為添加了個A陣列表示每個葉子節點的值,事實上A陣列並不用修改,實際運用中也可不設定A陣列,單點更新只需修改樹狀陣列C即可。下標寫成二進位制:C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)];
lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010) C[2]+=val;
lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100) C[4]+=val;
lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000) C[8]+=val;
最後說一下樹狀陣列的優缺點:①特點:程式碼短小,實現簡單;容易擴充套件到高緯度的資料;
②缺點:只能用於求和,不能求最大/小值;不能動態插入;資料多時,空間壓力大。