http://blog.pluskid.org/?p=39

上一次我們談到了用 k-means 進行聚類的方法，這次我們來說一下另一個很流行的演算法：Gaussian Mixture Model (GMM)。事實上，GMM 和 k-means 很像，不過 GMM 是學習出一些概率密度函式來（所以 GMM 除了用在 clustering 上之外，還經常被用於 density estimation ），簡單地說，k-means 的結果是每個資料點被 assign 到其中某一個 cluster 了，而 GMM 則給出這些資料點被 assign 到每個 cluster 的概率，又稱作 soft assignment

得出一個概率有很多好處，因為它的資訊量比簡單的一個結果要多，比如，我可以把這個概率轉換為一個 score ，表示演算法對自己得出的這個結果的把握。也許我可以對同一個任務，用多個方法得到結果，最後選取“把握”最大的那個結果；另一個很常見的方法是在諸如疾病診斷之類的場所，機器對於那些很容易分辨的情況（患病或者不患病的概率很高）可以自動區分，而對於那種很難分辨的情況，比如，49% 的概率患病，51% 的概率正常，如果僅僅簡單地使用 50% 的閾值將患者診斷為“正常”的話，風險是非常大的，因此，在機器對自己的結果把握很小的情況下，會“拒絕發表評論”，而把這個任務留給有經驗的醫生去解決。

廢話說了一堆，不過，在回到 GMM 之前，我們再稍微扯幾句。我們知道，不管是機器還是人，學習的過程都可以看作是一種“歸納”的過程，在歸納的時候你需要有一些假設的前提條件，例如，當你被告知水裡遊的那個傢伙是魚之後，你使用“在同樣的地方生活的是同一種東西”這類似的假設，歸納出“在水裡遊的都是魚”這樣一個結論。當然這個過程是完全“本能”的，如果不仔細去想，你也不會了解自己是怎樣“認識魚”的。另一個值得注意的地方是這樣的假設並不總是完全正確的，甚至可以說總是會有這樣那樣的缺陷的，因此你有可能會把蝦、龜、甚至是潛水員當做魚。也許你覺得可以通過修改前提假設來解決這個問題，例如，基於“生活在同樣的地方並且穿著同樣衣服的是同一種東西”這個假設，你得出結論：在水裡有並且身上長有鱗片的是魚。可是這樣還是有問題，因為有些沒有長鱗片的魚現在又被你排除在外了。

在這個問題上，機器學習面臨著和人一樣的問題，在機器學習中，一個學習演算法也會有一個前提假設，這裡被稱作“歸納偏執 (bias)”（bias 這個英文詞在機器學習和統計裡還有其他許多的意思）。例如線性迴歸，目的是要找一個函式儘可能好地擬合給定的資料點，它的歸納偏執就是“滿足要求的函式必須是線性函式”。一個沒有歸納偏執的學習演算法從某種意義上來說毫無用處，就像一個完全沒有歸納能力的人一樣，在第一次看到魚的時候有人告訴他那是魚，下次看到另一條魚了，他並不知道那也是魚，因為兩條魚總有一些地方不一樣的，或者就算是同一條魚，在河裡不同的地方看到，或者只是看到的時間不一樣，也會被他認為是不同的，因為他無法歸納，無法提取主要矛盾、忽略次要因素，只好要求所有的條件都完全一樣──然而哲學家已經告訴過我們了：世界上不會有任何樣東西是完全一樣的，所以這個人即使是有無比強悍的記憶力，也絕學不到任何一點知識。

這個問題在機器學習中稱作“過擬合 (Overfitting)”，例如前面的迴歸的問題，如果去掉“線性函式”這個歸納偏執，因為對於 N 個點，我們總是可以構造一個 N-1 次多項式函式，讓它完美地穿過所有的這 N 個點，或者如果我用任何大於 N-1 次的多項式函式的話，我甚至可以構造出無窮多個滿足條件的函數出來。如果假定特定領域裡的問題所給定的資料個數總是有個上限的話，我可以取一個足夠大的 N ，從而得到一個（或者無窮多個）“超級函式”，能夠 fit 這個領域內所有的問題。然而這個（或者這無窮多個）“超級函式”有用嗎？只要我們注意到學習的目的（通常）不是解釋現有的事物，而是從中歸納出知識，並能應用到新的事物上，結果就顯而易見了。

沒有歸納偏執或者歸納偏執太寬泛會導致 Overfitting ，然而另一個極端──限制過大的歸納偏執也是有問題的：如果資料本身並不是線性的，強行用線性函式去做迴歸通常並不能得到好結果。難點正在於在這之間尋找一個平衡點。不過人在這裡相對於（現在的）機器來說有一個很大的優勢：人通常不會孤立地用某一個獨立的系統和模型去處理問題，一個人每天都會從各個來源獲取大量的資訊，並且通過各種手段進行整合處理，歸納所得的所有知識最終得以統一地儲存起來，並能有機地組合起來去解決特定的問題。這裡的“有機”這個詞很有意思，搞理論的人總能提出各種各樣的模型，並且這些模型都有嚴格的理論基礎保證能達到期望的目的，然而絕大多數模型都會有那麼一些“引數”（例如 K-means 中的 k ），通常沒有理論來說明引數取哪個值更好，而模型實際的效果卻通常和引數是否取到最優值有很大的關係，我覺得，在這裡“有機”不妨看作是所有模型的引數已經自動地取到了最優值。另外，雖然進展不大，但是人們也一直都期望在計算機領域也建立起一個統一的知識系統（例如語意網就是這樣一個嘗試）。

廢話終於說完了，回到 GMM 。按照我們前面的討論，作為一個流行的演算法，GMM 肯定有它自己的一個相當體面的歸納偏執了。其實它的假設非常簡單，顧名思義，Gaussian Mixture Model ，就是假設資料服從 Mixture Gaussian Distribution ，換句話說，資料可以看作是從數個 Gaussian Distribution 中生成出來的。實際上，我們在 K-means 和 K-medoids 兩篇文章中用到的那個例子就是由三個 Gaussian 分佈從隨機選取出來的。實際上，從中心極限定理可以看出，Gaussian 分佈（也叫做正態 (Normal) 分佈）這個假設其實是比較合理的，除此之外，Gaussian 分佈在計算上也有一些很好的性質，所以，雖然我們可以用不同的分佈來隨意地構造 XX Mixture Model ，但是還是 GMM 最為流行。另外，Mixture Model 本身其實也是可以變得任意複雜的，通過增加 Model 的個數，我們可以任意地逼近任何連續的概率密分佈。

每個 GMM 由  個 Gaussian 分佈組成，每個 Gaussian 稱為一個“Component”，這些 Component 線性加成在一起就組成了 GMM 的概率密度函式：

根據上面的式子，如果我們要從 GMM 的分佈中隨機地取一個點的話，實際上可以分為兩步：首先隨機地在這  個 Component 之中選一個，每個 Component 被選中的概率實際上就是它的係數  ，選中了 Component 之後，再單獨地考慮從這個 Component 的分佈中選取一個點就可以了──這裡已經回到了普通的 Gaussian 分佈，轉化為了已知的問題。

那麼如何用 GMM 來做 clustering 呢？其實很簡單，現在我們有了資料，假定它們是由 GMM 生成出來的，那麼我們只要根據資料推出 GMM 的概率分佈來就可以了，然後 GMM 的  個 Component 實際上就對應了  個 cluster 了。根據資料來推算概率密度通常被稱作 density estimation ，特別地，當我們在已知（或假定）了概率密度函式的形式，而要估計其中的引數的過程被稱作“引數估計”。

現在假設我們有  個數據點，並假設它們服從某個分佈（記作  ），現在要確定裡面的一些引數的值，例如，在 GMM 中，我們就需要確定 、 和  這些引數。 我們的想法是，找到這樣一組引數，它所確定的概率分佈生成這些給定的資料點的概率最大，而這個概率實際上就等於  ，我們把這個乘積稱作似然函式 (Likelihood Function)。通常單個點的概率都很小，許多很小的數字相乘起來在計算機裡很容易造成浮點數下溢，因此我們通常會對其取對數，把乘積變成加和 ，得到 log-likelihood function 。接下來我們只要將這個函式最大化（通常的做法是求導並令導數等於零，然後解方程），亦即找到這樣一組引數值，它讓似然函式取得最大值，我們就認為這是最合適的引數，這樣就完成了引數估計的過程。

下面讓我們來看一看 GMM 的 log-likelihood function ：

由於在對數函式裡面又有加和，我們沒法直接用求導解方程的辦法直接求得最大值。為了解決這個問題，我們採取之前從 GMM 中隨機選點的辦法：分成兩步，實際上也就類似於 K-means 的兩步。

1. 估計資料由每個 Component 生成的概率（並不是每個 Component 被選中的概率）：對於每個資料  來說，它由第  個 Component 生成的概率為

   由於式子裡的  和  也是需要我們估計的值，我們採用迭代法，在計算  的時候我們假定  和  均已知，我們將取上一次迭代所得的值（或者初始值）。

2. 估計每個 Component 的引數：現在我們假設上一步中得到的  就是正確的“資料  由 Component  生成的概率”，亦可以當做該 Component 在生成這個資料上所做的貢獻，或者說，我們可以看作  這個值其中有  這部分是由 Component  所生成的。集中考慮所有的資料點，現在實際上可以看作 Component 生成了  這些點。由於每個 Component 都是一個標準的 Gaussian 分佈，可以很容易分佈求出最大似然所對應的引數值：

   其中  ，並且  也順理成章地可以估計為  。

3. 重複迭代前面兩步，直到似然函式的值收斂為止。

當然，上面給出的只是比較“直觀”的解釋，想看嚴格的推到過程的話，可以參考 Pattern Recognition and Machine Learning 這本書的第九章。有了實際的步驟，再實現起來就很簡單了。Matlab 程式碼如下：

（Update 2012.07.03：如果你直接把下面的程式碼拿去運行了，碰到 covariance 矩陣 singular 的情況，可以參見這篇文章。）

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function varargout = gmm(X, K_or_centroids)
% ============================================================
% Expectation-Maximization iteration implementation of
% Gaussian Mixture Model.
%
% PX = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
% [PX MODEL] = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
%
%  - X: N-by-D data matrix.
%  - K_OR_CENTROIDS: either K indicating the number of
%       components or a K-by-D matrix indicating the
%       choosing of the initial K centroids.
%
%  - PX: N-by-K matrix indicating the probability of each
%       component generating each point.
%  - MODEL: a structure containing the parameters for a GMM:
%       MODEL.Miu: a K-by-D matrix.
%       MODEL.Sigma: a D-by-D-by-K matrix.
%       MODEL.Pi: a 1-by-K vector.
% ============================================================
 
    threshold = 1e-15;
    [N, D] = size(X);
 
    if isscalar(K_or_centroids)
        K = K_or_centroids;
        % randomly pick centroids
        rndp = randperm(N);
        centroids = X(rndp(1:K), :);
    else
        K = size(K_or_centroids, 1);
        centroids = K_or_centroids;
    end
 
    % initial values
    [pMiu pPi pSigma] = init_params();
 
    Lprev = -inf;
    while true
        Px = calc_prob();
 
        % new value for pGamma
        pGamma = Px .* repmat(pPi, N, 1);
        pGamma = pGamma ./ repmat(sum(pGamma, 2), 1, K);
 
        % new value for parameters of each Component
        Nk = sum(pGamma, 1);
        pMiu = diag(1./Nk) * pGamma' * X;
        pPi = Nk/N;
        for kk = 1:K
            Xshift = X-repmat(pMiu(kk, :), N, 1);
            pSigma(:, :, kk) = (Xshift' * ...
                (diag(pGamma(:, kk)) * Xshift)) / Nk(kk);
        end
 
        % check for convergence
        L = sum(log(Px*pPi'));
        if L-Lprev < threshold
            break;
        end
        Lprev = L;
    end
 
    if nargout == 1
        varargout = {Px};
    else
        model = [];
        model.Miu = pMiu;
        model.Sigma = pSigma;
        model.Pi = pPi;
        varargout = {Px, model};
    end
 
    function [pMiu pPi pSigma] = init_params()
        pMiu = centroids;
        pPi = zeros(1, K);
        pSigma = zeros(D, D, K);
 
        % hard assign x to each centroids
        distmat = repmat(sum(X.*X, 2), 1, K) + ...
            repmat(sum(pMiu.*pMiu, 2)', N, 1) - ...
            2*X*pMiu';
        [dummy labels] = min(distmat, [], 2);
 
        for k=1:K
            Xk = X(labels == k, :);
            pPi(k) = size(Xk, 1)/N;
            pSigma(:, :, k) = cov(Xk);
        end
    end
 
    function Px = calc_prob()
        Px = zeros(N, K);
        for k = 1:K
            Xshift = X-repmat(pMiu(k, :), N, 1);
            inv_pSigma = inv(pSigma(:, :, k));
            tmp = sum((Xshift*inv_pSigma) .* Xshift, 2);
            coef = (2*pi)^(-D/2) * sqrt(det(inv_pSigma));
            Px(:, k) = coef * exp(-0.5*tmp);
        end
    end
end

函式返回的 Px 是一個  的矩陣，對於每一個  ，我們只要取該矩陣第  行中最大的那個概率值所對應的那個 Component 為  所屬的 cluster 就可以實現一個完整的聚類方法了。對於最開始的那個例子，GMM 給出的結果如下：

相對於之前 K-means 給出的結果，這裡的結果更好一些，左下角的比較稀疏的那個 cluster 有一些點跑得比較遠了。當然，因為這個問題原本就是完全有 Mixture Gaussian Distribution 生成的資料，GMM （如果能求得全域性最優解的話）顯然是可以對這個問題做到的最好的建模。

另外，從上面的分析中我們可以看到 GMM 和 K-means 的迭代求解法其實非常相似（都可以追溯到 EM 演算法，下一次會詳細介紹），因此也有和 K-means 同樣的問題──並不能保證總是能取到全域性最優，如果運氣比較差，取到不好的初始值，就有可能得到很差的結果。對於 K-means 的情況，我們通常是重複一定次數然後取最好的結果，不過 GMM 每一次迭代的計算量比 K-means 要大許多，一個更流行的做法是先用 K-means （已經重複並取最優值了）得到一個粗略的結果，然後將其作為初值（只要將 K-means 所得的 centroids 傳入 gmm 函式即可），再用 GMM 進行細緻迭代。

如我們最開始所討論的，GMM 所得的結果（Px）不僅僅是資料點的 label ，而包含了資料點標記為每個 label 的概率，很多時候這實際上是非常有用的資訊。最後，需要指出的是，GMM 本身只是一個模型，我們這裡給出的迭代的辦法並不是唯一的求解方法。感興趣的同學可以自行查詢相關資料。