相信大家對於矩陣快速冪都有一定的瞭解。大家也就知道快速冪對於冪運算的迅速，但是當出現了這樣的問題： 我們就會發現即便矩陣快速冪再快，我們計算和我們都是O(n)的演算法。那麼在這個問題上，我們研究問題的重心就從矩陣的冪，轉化為了矩陣冪的和。光看這個好像也想不出什麼，那麼我們換一個角度來思考這個問題。我們現在是要讓計算變得更快，對吧？那麼怎麼樣才能變得更快呢？時間複雜度的定義，就是從運算的次數來衡量時間的吧。那麼現在我們就有目標了。我們要怎麼減少運算的次數呢？顯然就是儘量避免重複計算，換而言之就是儘可能的找出公共部分。於是我們很容易的得到下列式子： 現在我們發現公共部分，我們已經找到了，提取公因式：

以下是程式碼實現：

//Matrix 類,同矩陣快速冪的Matrix類
 
//倍增法求解a^1 + a^2 + ... + a^n
Matrix slove(const Matrix &a, int n){
    //遞迴終點
    if(n == 1) return a;
    //temp 遞迴表示a^1 + a^2 + ... + a^(n/2)
    Matrix temp = slove(a, n/2);
    //sum 表示 a^1 + a^2 + ... + a^(n/2) + (a^(n/2))*(a^1 + a^2 + ... + a^(n/2))
    Matrix sum = temp + temp*a.pow(n/2);
    //如果當n為奇數，我們會發現我們的(n/2 + n/2) == n-1
    //於是我們需要補上一項： a^n
    if(n & 1) sum = sum + a.pow(n);
    return sum;
}
 

還有一種計算矩陣連乘求和

矩陣連乘求和：1 + A^2 + A^3 + … + A^n
1. 構造矩陣
|A 1|
|0 1|

例如求矩陣
|2 1|
|3 4|
的1 + A^2 + A^3 + … + A^n可以把矩陣構造成
|2 1 1|
|3 4 1|
|0 0 1|
結果為
7 6 4
18 19 8
0 0 1
結果的的第一行的全部相加結果就是1 + A^2 + A^3 + … + A^n的每一個A的i次冪的矩陣的第一行的和