今天算法課講到了矩陣連乘問題，所以再來復習一下。

　　講到矩陣連乘問題就不得不講一講動態規劃。動態規劃就是將問題分解為若幹個子問題，先將子問題求解，最後在從子問題的解中得到原問題的解。這樣看來動態規劃好像和分治法相差無幾，但是兩者還是有著一些差別的，分治法分解的子問題中，子問題互相之間是沒有聯系的，就是子問題是互相獨立的，但是動態規劃則不同，子問題之間是有聯系的，甚至同一個子問題要被求解多次，所以這也是動態規劃和分治法的區別。

　　動態規劃求解一般有四個步驟：

　　（1）找出最優解性質，並刻畫最優解結構特征。

　　（2）遞歸的定義最優值。

　　（3）以自底向上的方式計算最優值。

　　（4）根據計算出來的最優值，構造最優解。

　　矩陣連乘問題就是很好的體現了動態規劃的思想，這裏也是講矩陣連乘作為講解動態規劃的例子。矩陣連乘問題就是有若幹矩陣，將他們相乘的時候因為相乘的次序的不同，相乘時計算的次數也是不同的。比如A1（10*100），A2（100*5）,A3（5*50）三個矩陣，相乘次序分別為（（A1*A2）A3）和（A1（A2*A3））時，矩陣相乘的次數分別為7500和75000，所以我們需要找到相乘次數最少的矩陣相乘次數（最優值）和矩陣相乘次序（最優解）。這就是算法的目的。

　　問題還是比較好理解的，剛開始先用一下我們之前的遞歸分治方法嘗試做一下，發現也是可以做，但是越做到後面越會發現，同一個子問題我們會連續求解很多次。能不能將子問題都存儲起來，需要時直接查找呢？這個就是動態規劃對於本題的解題思路。將子問題存儲起來，需要時直接查找，這樣就降低了計算次數。

　　大概思路解決了，也找出了最優解的性質，下面我們就遞歸的求出最優值。要講最優值，就一定要了解最優子結構性質的公式。

m[i,j]為存儲最優值的二維數組，i和j分別代表矩陣的開始和結束。如m[1,6]就表示第一個矩陣到第六個矩陣相乘的最優值。因為單個矩陣相乘無意義，所以當i等於j時，m[i,j]為零。這個公式還是很好理解的，k表示矩陣相乘的斷點。前面講到矩陣相乘的重要之處是找到合適的次序，找次序其實就是找斷點。上一個例子就是找到了A2這個斷點，並且斷點的位置只能在i到j之間。所以，現在也求出了最優值的遞歸公式。

　　計算最優值也是很簡單的，先將底下的子問題計算結果（就是兩個矩陣相乘的最優值，並且唯一），最後在利用遞歸公式求解出上面的子問題。總體的計算最優值的思路就是這樣。算出最優值後，構造最優解也就很簡單了。遇到的一些問題下面在具體談。下面粘貼代碼。

import java.util.Scanner;

public class demo5 
{
	static int m[][]=new int[50][50];//存放子問題的最優解
	static int s[][]=new int[50][50];//存放子問題的最佳斷點
	public static void jzlc(int p[],int m[][],int s[][],int n)
	{
		for(int r=2;r<=n;r++)//矩陣連乘的個數
		{
			for(int i=1;i<=n-r+1;i++)//i為開始的矩陣，小於n-r+1，因為n-r+1+r=n+1
			{
				int j=i+r-1;//j為當前循環的最後的一個矩陣
				m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//這個為最佳斷點為i時的公式
				s[i][j]=i;
				for(int k=i+1;k<j;k++)//尋找最佳斷點
				{
					
					int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
					if(t<m[i][j])
					{
						m[i][j]=t;
						s[i][j]=k;
					}
				}
			}
		}
	}
	public static void dy(int i,int j,int s[][])//遞歸求出答案，並打印
	{
		if(i==j) return;
		dy(i, s[i][j], s);
		dy(s[i][j]+1, j, s);
		System.out.print("Multipy A" + i + "," + s[i][j]);
        System.out.println(" and A" + (s[i][j]+1) + "," + j);
	}
	public static void main(String args[])
	{
		//6 30 35 15 5 10 20 25          輸入
		System.out.println("請輸入矩陣相乘的矩陣個數");
		Scanner reader = new Scanner(System.in);
		int n=reader.nextInt();
		int p[]=new int[n+1];//存放矩陣的行和列
		System.out.println("請依次輸入矩陣的行和烈（如A*B，A=20*30，B=30*40，即輸入20 30 40)");
		for(int i=0;i<n+1;i++)
			p[i]=reader.nextInt();
		jzlc(p, m, s, n);
		for(int i=0;i<=n;i++)//打印存儲最優值和最優解的數組，這裏要註意i和j的對於數組的位置以及for循環的結束條件
		{
			for(int j=0;j<=n;j++)
			{
				System.out.print(m[i][j]+" ");
			}
			System.out.println();
		}
		System.out.println();
		System.out.println();
		for(int i=0;i<=n;i++)
		{
			for(int j=0;j<=n;j++)
			{
				System.out.print(s[i][j]+" ");
			}
			System.out.println();
		}
		dy(1, n, s);//打印結果
	}
}

　　上面就是具體的實現代碼，期間也沒有遇到特別的問題，代碼的實現也是很順暢，但是在結束時遇到了我沒有辦法理解的問題，就是數組中i和j的位置，這裏我想了很久，還是沒有想明白。後來感覺可能故意寫成這個樣子，這樣算法的實現者不用太花心思糾結在i和j的位置上面。我後來想過將主體代碼中i和j減去對應的值，這樣整個最優值數組打印的時候就是大家能夠接受的結果了，但是後來又發現在構造最優解的時候估計會遇到混亂的問題。這裏也不糾結了，大體沒有毛病就直接略過了。

　　下面講一講最優解的構造，這裏代碼中就兩個數組m和s，分別存儲最優值和最佳斷點。具體的細節都在註釋了。s[i,j]存儲的就是矩陣i到j相乘的最佳斷點，因為i=j時無意義，所以直接為0，在數組初始化的時候可以置為零，也可以不用管（畢竟一直沒有動）。了解了各個數組的維度的意思，構造最優解也就沒什麽難處了。這裏要註意求最優解的時候用到了遞歸（比較簡單和好想）。剩下也就沒什麽了。結束。

矩陣連乘問題