幾何建模相關多目標優化問題研究-摘要
阿新 • • 發佈：2018-12-13
- 計算機輔助設計的商業軟體可以分為兩大類：一類是平面設計軟體，一類是三維建模軟體
- 平面曲線通常使用樣條來表示，光順性和連續度是對曲線質量的常見要求。
- 有理二次貝塞爾曲線是一個常見的樣條曲線，然而固定引數後一方面限制了自由度，另一方面不利於尋找提高光順度的方法
- 在表面張力的作用下生成的曲面具有非常好的光滑性，但是由於絕大多數張力生成曲面的方程都無法寫出，因而離散構造成為目前最可行的方法。
- 多邊形網格是最常用的曲面的離散的表示方法，每個面與正多邊形的接近度成為衡量網格質量的重要標準。
- 在張力生成曲面的構造中，曲面的精度和網格質量是張力生成曲面離散構造的兩個重要指標。
- 自支撐曲面可以通過壁面材料沿著切方向的正應力平衡材料的自身重力，從而避免剪應力與彎矩的產生。但是自支撐曲面的平衡方程中有一個難以處理的未知函式，這導致難以找到優化函式。
- 在有限元分析中，結構化四邊形網格有著計算速度快，結果精度高的特點。
- 目前基於正交流場的引數化方法是構造四邊形網格最有效的方法，但是存在兩個問題：一個是如何確定優化奇異點的位置與數量從而發揮它抵消高斯曲率的最大作用；另一方面是如何讓引數的梯度儘可能沿著流場的方向，從而使生成的四邊形網格的角度畸變儘可能小。
- 創新點：提出了一種使用圓錐曲線的新的插值方法，減少了曲率極值點，從而提高了樣條的光順性。在新方法中，有理二次貝塞爾曲線的權重被轉化為一種等價的形式，稱為“弦切比”。新方法的主要思想是用切線的輻角和絃切比表示樣條端點處的曲率和曲率變化率。把幾何構造問題轉化為條件極值問題。在求解過程中，對於多個約束函式採用了改進的施密特正交化方法，從他們的梯度中提取出一組正交基，再把優化函式的梯度在上面做投影。
- 創新點：提出了一種基於三角網格的張力生成曲面的構造方法，可以生成同時滿足高精度和高網格質量的張力生成曲面。一方面借鑑了基於平均曲率流張力生成曲面的構造方法，另一方面借用了三角形優化方法--重心Voronoi圖方法。本文解決平均曲率流的能量函式與重心Voronoi圖的優化函式衝突的方法是把平均曲率流限制在曲面的法向量內，重心Voronoi圖的優化方向限制在切平面內，使得兩種優化函式能在不同子空間中各自發揮最大的作用。
- 創新點：發現了一類自支撐曲面與四維空間中極小旋轉超曲面的對應關係，並應用於自支撐曲面的構造。利用變分原理可以證明四維空間中的極小旋轉超曲面的超母線是三維空間中的自支撐曲面，這為構造自支撐曲面提供了全新的理論基礎。
- 創新點：發現了正交流場與靜電場的對應關係，並應用於奇異點的優化。二維流形上的正交流場與靜電場有著一種同構。正交流場的梯度與靜電場正交且垂直。這個方法有如下幾個優勢：（1）奇異點的位置得到了優化，他們通常會分佈在抵消高斯曲率的關鍵位置，從而增強流場的平滑性和對稱性（2）奇異點的數量得到了減少，這樣能有效抑制奇異點的存在對網路結構性的影響（3）計算量小，雖然對奇異點需要沿著電場力的方向多次調整，但每次對流場的平滑要求解的矩陣係數完全相同，因此只需要做一次LU分解即可多次應用分解結果。
- 創新點：提出了一種小角度畸變的引數化方法。新方法的主要創新思想把引數的梯度的模長作為未知變數，並尋找這些變數必須滿足的約束條件和儘可能減少角度畸變的優化條件。對於約束最小二乘問題的求解，這裡使用了基於最小模解的正交分解思想，把傳統的用於求解正定矩陣方程的共軛梯度法改進為投影共軛梯度法。