幾何建模相關多目標優化問題研究-緒論
阿新 • • 發佈：2018-12-14
- 用適當的引數化方法構造二次有理貝塞爾樣條，可以讓他們達到C1連續，如果把拼接點處的兩個樣條的曲率約束為相同的，則可以達到G2連續。
- 圓錐曲線的擬合精度已被證明可以小於O（h4）,而且能到達G2連續。
- 目前已有方法可以構造出極值點更少的圓錐曲線樣條，這個方法的大致思路是分別找出樣條拼接點和曲線上的曲率極值點並且去除掉，並調整切線的方向增強曲線的連續度。
- 曲率的導函式是描述樣條光順性的重要指標。從整體上來看，每條圓錐曲線至多有4個曲率極值點，一段圓錐曲線沒有極值點的條件可以用一個視覺化的幾何模型表示。
- 目前對於圓錐曲線樣條的研究都未能擺脫引數的制約。
- 人們通常用引數方程和隱式方程研究網格的性質，並發展一套微分幾何理論，人們根據該理論匯出：純張力生成曲面，即極小曲面的平均曲率為0，有壓強差的張力生成的曲面的平均曲率為常數，即尤拉-拉格朗日方程。
- 重心Voronoi圖方法是最著名的三角形優化方法。Pinkall和Polthier使用了迪利克萊能量的極小化來生成極小曲面。當前大部分方法都是基於平均曲率流，讓曲面沿著定義在三角網格上的離散的平均曲率流漸變。
- 邊翻轉演算法是引入最早，也是最簡單的網格優化方法，可以與平均曲率流的構造交替操作，從而生成曲面的同時提高網格的質量，讓網格頂點分佈更加均勻。在提高優化速度方面，稀疏線性求解器可以大大增加拉普拉斯運算元的優化效果。
- 網格質量可以用頂點平均法和邊翻轉操作優化，但是這樣會影響面積能量。因此，Surface Evolver實際上是對面積能量和優化能量的一個折中。Surface Evolver的網址具體如下所示：http://facstaff.susqu.edu/brakke/evolver/evolver.html
- 在頂點非常密集的情況下，重心Voronoi圖的優化函式與網格面積的平方几乎等價，因而把優化函式與曲面體積的線性組合，可以構造平均曲率曲面。這種方法把網格質量和網格形狀結合在了一起，使得常平均曲率的生成更加魯棒。但是這種方法生成的極小曲面有著更大的曲率逼近誤差，這是因為這種方法採用的能量函式與真實的面積能量函式並非嚴格等價。
- 可以使用拉格朗日變形曲面模型來實時模擬符合物理規律的水滴動畫，這類演算法主要關注流體的模擬，並不關注網格質量和表面形狀的精度。
- 可以使用有限元分析來對偏微分方程的數值進行求解，然而有限元分析只能對已經確定的形狀求力學方程的數值解，難以用來確定未知曲面的形狀。
- 粒子-彈簧模型是一種求解彈性力學問題的方法，應用在幾何構造中可以求解形變數很大的力學問題，因此可以用來設計自支撐曲面。但是，該模型可能會導致嚴重的形狀扭曲。
- 把彈性力學中的拉普拉斯方程轉化為離散形式，並基於離散曲率建立了自支撐曲面的力學方程，從而構造自支撐曲面。
- 自支撐曲面中的艾裡應力函式可以用來實現引數化，並在上面構造B樣條，從而增加曲面的平滑性。
- 目前的四邊形構造方法中，除了譜分解方法，其餘方法都是基於引數化的。引數化方法可以保證四邊形網格的結構化程度。四邊形網格的結構化程度可以通過重構來提升，最常用的方法是基於對奇異點發出的網格線的追蹤。
- 共形對映成為構造結構化四邊形網格的重要理論。根據黎曼對映定理，任何單連通區域都可以與單位圓盤建立共形對映，這從理論上保證了在單連通區域建立共形對映的可行性。共形對映的建立通常基於求解拉普拉斯方程，共形對映的一個侷限性是它只能在單連通區域上建立。
- 四邊形網格與三角形網格有個非常關鍵的不同點，就是每個面上的所有點的共面未必能保證。在玻璃窗的設計中，要求四邊形網格四點嚴格共面，這稱為PQ網格。
- 使用人工標記的方法和主曲率方向估計方法可以使四邊網格線的方向沿著曲面的主曲率線。基於主曲率線的方向引導，正交流場可以通過構造一個含有整數變數和實數變數的平滑能量函式，並對它極小化自動生成。決定平滑能量函式中的整數值卻是一個NP-Hard問題。目前求最好近似解的方法是混合整數求解方法。
- 基於複數的特正向量的方法對奇異點的分佈有了一定的改進效果。減少奇異點的數量有助於提高四邊形網格的結構化程度。合併異號的奇異點是最常見的減少奇異點的方法。
- 由於流場的奇異點無法完全消除，因此全域性的引數化必然會有分割線。但是如果引數在分割線兩邊滿足一定的關係，可以在取樣生成的網格避免分割線。
- 正交流場的兩個方向是嚴格垂直的，但是如果區域性的引數畸變過大，會導致網格形狀的走樣甚至缺陷。