題目描述

這是球盒問題中的，n個球有區別，m個盒子有區別，且盒子可以為空（但球都放進盒子裡）的這種情況，這種情況的方案數為$m^n$，而在本題中，方案數則為$a^b$。

根據題意表述以及輸入輸出，可以發現輸出其實輸出是輸的那一方（出題人把輸出弄錯了）。為了方便理解，這裡讓輸出為贏的一方。所以： 樣例輸入： 3 2 2 10 3 1 4 1 4 10 樣例輸出： A B A&B

思路

在每個回合，A和B兩個人都只能增加a，或者增加b，所以每種狀態只有兩個分支（增加底數或增加指數）。可以想象，如果考慮所有分支，那麼就能畫出一個二叉樹。 本文認為，如果只考慮當前狀態的兩個分支，然後再判斷下一步走哪個分支，只能算是貪心演算法。而題目說了雙方都是採取的最優策略

那麼怎麼畫這顆二叉樹呢，考慮增加底數為左孩子，增加指數為右孩子。如果左右孩子都小於n，那麼畫出左右孩子；如果只有左孩子小於n，那麼只畫左孩子；右孩子同理；如果左右孩子都大於等於n，那麼該節點為葉子節點。 以輸入為2 2 10為例，所有的葉子節點的高度%2==1。且這種情況，A贏。 以輸入為3 1 4為例，所有的葉子節點的高度%2==0。且這種情況，B贏。 總結：

• 所有的葉子節點再往下走都會大於等於n，所以它們是一個葉子節點。
• 如果，所有的葉子節點的高度%2==1，那麼肯定是A贏。
• 如果某個葉子節點的高度%2==1，那麼從根節點到該葉子節點的這種流程，是A贏。
• 如果，所有的葉子節點的高度%2==0，那麼肯定是B贏。
• 如果某個葉子節點的高度%2==0，那麼從根節點到該葉子節點的這種流程，是B贏。

但如果二叉樹中，兩種葉子節點都有，這種情況要複雜點： 我們為葉子節點賦值，如果高度%2==1，那麼賦值1。如果高度%2==0，那麼賦值0。即節點為1代表A贏，節點為0代表B贏。葉子節點的值，能夠自底向上地傳遞，傳遞規則如下： 被傳遞肯定只有非葉子節點。分析只有一個孩子的非葉子節點，那麼孩子的值就是該節點的值。 分析有兩個孩子的非葉子節點，這裡分兩種情況。

1.非葉子節點的高度%2==0，那麼該節點的分支是由A決定的，那麼該節點的兩個孩子只要有一個1，那麼該節點就為1。即left or right。因為這個節點的分支是A決定的，所以只要有一個分支為1那麼A自然肯定就會選擇為1的這條分支。

2.非葉子節點的高度%2==1，那麼該節點的分支是由B決定的，那麼該節點的兩個孩子只要有一個0，那麼該節點就為0。即left and right。因為這個節點的分支是B決定的，所以只要有一個分支為0那麼B自然肯定就會選擇為0的這條分支。 如上圖所示，假設畫出來的二叉樹是這樣。那麼初始時，有三個葉子節點。 b)中，由於是隻有一個孩子的非葉子節點，所以直接傳遞值。 c)中，由於該節點是由B決定分支，所以取1 and 0即0。 d)中，由於該節點是由A決定分支，所以取1 or 0即1。 所以，最終是A贏。

還有一種特殊情況是a=1 因為底數為1，那麼二叉樹的右孩子能一直產生（1的任何次冪都為1，如果此時n還大於1），但左孩子到達某個高度後就會沒有左孩子了（因為此時b很大，a一旦從1變成2，就會不小於n）。 這種情況下多了平局的情況，而且注意此時雙方會在輸和平局兩種分支中，選擇平局。 以起始為1,4為例，現假設畫出來的二叉樹為這樣，紅色位元組點之後可能還會有分支，但是在本圖中不畫出來，而是看作這些紅色位元組點已經被傳遞到了值。 思路是從上到下分析紅色位元組點。 1.首先是2,4，因為其父節點是A作決定，所以如果2,4被傳遞到的值為1，那麼A贏，但如果值為0，那麼走右分支，結果待定，還得看下一個紅色位元組點。 2.然後如果到了2,5，因為其父節點是B作決定，所以如果2,5被傳遞到的值為0，那麼B贏，但如果值為1，那麼走右分支，結果待定，還得看下一個紅色位元組點。 3.之後就是這樣，交替分析下一個紅色位元組點。 4.最後如果走到了只有右分支的節點，那麼此時平局。

程式碼

T = eval(input())

def solve(a,b,n,step):
    #此函式處理a=1的情況
    left = (a+1) ** b
    right = a ** (b+1)
    if (left >= n) & (right >= n):#遞迴終點，也是二叉樹中的葉子節點
        if step%2 == 1:
            return 1
        elif step%2 == 0:
            return 0   

    #遞迴過程
    if left >= n:#只有右孩子可以走
        return solve(a,b+1,n,step+1)
    elif right >= n:#只有左孩子可以走
        return solve(a+1,b,n,step+1)
    else:#左右孩子都可以走
        leftResult = solve(a+1,b,n,step+1)
        rightResult = solve(a,b+1,n,step+1)
        if step%2 == 1:#B決定
            return leftResult and rightResult
        elif step%2 == 0:#A決定
            return leftResult or rightResult
def solve_one(b,n):
    #此函式處理a>1的情況
    step = 1
    left = 2 ** b
    if left >= n:
        return None
    else:
        while(True):
            if 2 ** b >= n:
                break
            result = solve(2,b,n,step)
            if (step%2 == 1) and (result == 1):
                return 1
            if (step%2 == 0) and (result == 0):
                return 0            
            b += 1
            step += 1 
    return None

for i in range(T):
    a,b,n = map(int,input().split())
    result = 0
    if a != 1:
        result = solve(a,b,n,0)
    else:
        result = solve_one(b,n)
    if result is 1:
        print('A')
    elif result is 0:
        print('B')
    else:
        print('A&B')

輸入： 4 2 2 10 3 1 4 1 4 10 1 4 17

使用短路與、短路或

這種情況中，其實根本不用傳遞所有值，因為根節點是由A節點決定的，既然有一個孩子為1，那麼另一個孩子的值也就無所謂了。所以程式碼可以這樣優化。

def solve(a,b,n,step):
    #此函式處理a=1的情況
    left = (a+1) ** b
    right = a ** (b+1)
    if (left >= n) & (right >= n):#遞迴終點，也是二叉樹中的葉子節點
        if step%2 == 1:
            return 1
        elif step%2 == 0:
            return 0   

    #遞迴過程
    if left >= n:#只有右孩子可以走
        return solve(a,b+1,n,step+1)
    elif right >= n:#只有左孩子可以走
        return solve(a+1,b,n,step+1)
    else:#左右孩子都可以走
        if step%2 == 1:#B決定
            return solve(a+1,b,n,step+1) and solve(a,b+1,n,step+1)
        elif step%2 == 0:#A決定
            return solve(a,b+1,n,step+1) or solve(a+1,b,n,step+1)

A決定的節點能短路1，B決定的節點能短路0。所以： 在A決定的節點中，要把左右孩子中，更可能為1的孩子放在前面。 在B決定的節點中，要把左右孩子中，更可能為0的孩子放在前面。 雖然說了如上兩個結論，但左右孩子的值到底更可能為0還是1，這是一件不確定的事情（根據a,b,n的取值來決定，而且分析起來挺複雜）。如上程式碼，我是這樣放的：A決定的就先放右孩子，B決定的就先放左孩子。