FIRST集合和FOLLOW集合

一、First集合

• 定義： First集合是對產生式右部的字串而言的，求取的是非終結符V_T（或終結符、空字元、文法符號串）的開始符號集合，集合中包含的是由左部非終結符V_T推導得到的終結符V_N或空字元ε。以α表示一個文法的字串，FIRST( α ）表示由α推匯出的串的首個終結符或空字元組成的集合。

• 規則 求文法符號X的FIRST( X ) ，直到沒有終結符或空字元可以加入。 ① 如果X屬於終結符V_T，則FIRST(X) = { X } 。 ② 如果X屬於非終結符V_N，且有產生式形如X → a…，則FIRST( X ) = { a }。 ③ 如果X屬於非終結符V_N

  ，且有產生式形如X → ABCdEF…（A、B、C均屬於非終結符且包含 ε，d為終結符），需要把d、FIRST( A )、FIRST( B )、FIRST( C )加入到FIRST( X)中。 ④ 如果X經過一步或多步推匯出空字元ε，將ε加入FIRST( X )。

• 一組文法符號串 由規則可知單個文法字元的FIRST集，那麼一組文法字串的FIRST集也可以求取了。假設文法符號串S由X₁X₂X₃……X_n組成，則將每個文法符號X_i的FIRST集加入到FIRST( S )中，包括空字元ε。

• 舉例1 設有文法G[A]：     A→BCc | gDB          B→bCDE | ε         C→DaB | ca          D→dD | ε          E→gAf | c  解：

  FIRST( A ) = FIRST( BCc ) ∪ FIRST( gDB ） =FIRST( B )∪FIRST( C )∪{ c }∪{ g } 由規則③規則②可知 FIRST( A ) =FIRST( B )∪FIRST( D )∪{ a }∪{ c }∪{ c }∪{ g } ={ b，ε }∪{ d，ε }∪{ a }∪{ c }∪{ g } ={ a，b，c，d，g ，ε } FIRST( B ) = { b，ε } FIRST( C ) = FIRST( D )∪{ a }∪{ c }= { a，c，d，ε } FIRST( D ) = { d，ε } FIRST( E )
  = { g，c } 對於A來說：有兩種選擇 BCc 與 gDB，BCc用規則③，gDB用規則②。 對於B來說：有兩種選擇 bCDE 與 ε，均用規則②。 對於C來說：有兩種選擇 DaB 與 ca，由於D存在空字元，所以 DaB用規則③，ca用規則②。 對於D來說：有兩種選擇dD 與 ε ，分別用規則②與規則④。 對於E來說：有兩種選擇gAf 與 c ，均用規則②。

• 舉例2 設有文法G[S]:    S→aBS | bAS | ε    A→bAA | a    B→aBB | b 解： FIRST( S ) = FIRST( aBS )∪FIRST( bAS )∪{ ε }={ a，b，ε } FIRST( A ) = { a，b } FIRST( B ) = { a，b } 對於S來說：有三種選擇 aBS與bAS、ε，分別用②與規則④。 對於A來說：有兩種選擇bAA與 a，均用規則②。 對於B來說：有兩種選擇aBB與 b，均用規則②。

二、Follow集合

• 定義： Follow集合是對某個非終結符而言的，求取的是非終結符V_T的後繼符號集合，集合中包含的是由非終結符V_T後面緊跟的終結符V_N和結束符$，不能出現空字元ε 。以X表示一個非終結符，FOLLOW( X ）表示當X通過規約出現時，接下來的輸入可能是哪些終結符。

• 規則 求非終結符X的FOLLOW( X ) ，直到沒有終結符可以加入。 ① 如果X是開始符號，則將$加入到FOLLOW(X)中 。 ② 如果存在一個產生式S->αXβ，那麼將集合FIRST(β)中除ε外的所有元素加入到FOLLOW(X)當中。 ③如果存在一個產生式 S->αX , 或者S->αXβ且FIRST(β)中包含ε , 那麼將集合FOLLOW(S)中的所有元素加入到集合FOLLOW(X)中。

• 舉例1 設有文法G[A]：     A→BCc | gDB          B→bCDE | ε         C→DaB | ca          D→dD | ε          E→gAf | c  解： FOLLOW( A ) ={ f ，$ } FOLLOW( B ) = FIRST( C )∪FOLLOW( A )∪FOLLOW( C )              ={ a，c，d }∪{ f ，$ }∪{ c，d，g，$ }              ={ a，c，d，f，g，$ } FOLLOW( C ) = { c }∪FIRST( D )∪FIRST( E )              ={ c }∪{ d }∪{ g，c }              ={ c，d，g } FOLLOW( D ) = FIRST( B )∪FOLLOW(A )∪FIRST( E )∪{ a }              ={ b } ∪{ g，c }∪{ f ，$ }∪{ a }              ={ a，b，c，g，f，$ } FOLLOW( E ) = FOLLOW( B )              ={ a，c，d，f，g，$ } 其中，A,B,C,D,E都是非終結符，A是開始符號。 對於A的出現來說：A是開始符號，規則①需要加入$；E→gAf，規則②將f加入FOLLOW( A )。 對於B的出現來說：有 A→BCc，規則②將FIRST( C )除ε以外加入進去；有A→gDB，規則③將FOLLOW( A )加入進去；有C→DaB，規則③將FOLLOW( C )加入進去。 對於C的出現來說：有 A→BCc，規則②將c加入進去；有B→bCDE，規則③將FOLLOW( D )加入進去，由於D存在空字元ε，所以需要把FIRST( E )除ε以外也加入進去。 對於D的出現來說：有A→gDB，規則②將FIRST( B )除ε以外加入進去，由於B存在空字元ε，所以規則③將FOLLOW( A )加入進去；有B→bCDE，規則②將FIRST( E )除ε以外加入進去；有C→DaB，規則②將a加入進去。 對於E的出現來說：有B→bCDE，規則③將FOLLOW( B )加入進去。

• 舉例2 設有文法G[S]:    S→aBS | bAS | ε    A→bAA | a    B→aBB | b 解： FOLLOW( S ) = { $ } FOLLOW( A ) = FIRST( S )∪FOLLOW( S )∪FIRST( A )              ={ a，b } ∪{ $ }∪{ a，b }              ={ a，b，$ } FOLLOW( B ) =FIRST( S )∪ FOLLOW( S )∪FIRST( B )              ={ a，b } ∪ { $ }∪{ a，b }              ={ a，b，$ } 其中S,A,B是非終結符，S是開始符號。 對於S的出現來說：規則①將$加入進去。 對於A的出現來說：有S→bAS，規則②將FIRST( S )除ε以外加入進去,由於S存在空字元ε，規則③將FOLLOW( S )加入進去；有A→bAA，規則②將FIRST( A )除ε以外加入進去。 對於B的出現來說：有S→aBS，規則②將FIRST( S )除ε以外加入進去,由於S存在空字元ε，規則③將FOLLOW( S )加入進去；有B→aBB，規則②將FIRST( B )除ε以外加入進去。

三、LL(1)文法

• 滿足條件： ① 文法無左遞迴。 ②如果A存在多個選擇a_i，那麼任意兩個不同的選擇a_i和a_j，需滿足FIRST( a_i ）∩FIRST( a_j ）= ∅ ,保證不會回溯。 ③如果ε 屬於A 的開始符號集合，需滿足FIRST( A )∩FOLLOW( A ) = ∅ 保證只有一個選擇存在。