初學樹套樹：線段樹套Treap
阿新 • • 發佈：2018-12-13
前言
樹套樹是一個十分神奇的演算法，種類也有很多：像什麼樹狀陣列套主席樹、樹狀陣列套值域線段樹、線段樹套等等。
不過，像我這麼弱，當然只會最經典的 線段樹套 啦。
基本思想
線段樹套 的思想其實非常簡單。
簡單的說，就是有一棵線段樹，它的每一個節點都是一棵，每個裡面都儲存了這個節點所表示的區間裡的所有的元素。聽起來都很強大。
基本操作
下面是一個很嚴肅的問題：線段樹套有什麼用？
其實也很簡單，差不多就是將的詢問操作前面全部加了區間二字。
具體如下：
-
查詢一個元素在區間內的排名
-
查詢區間內排名為的元素
-
修改某一位的值
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查詢一個元素在區間內的前驅
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查詢一個元素在區間內的後繼
操作的具體實現
接下來，我們來講一講上面提到的這些操作具體是如何實現的。
一、查詢一個元素在區間內的排名
我們可以線上段樹上求出每一段需要查詢的區間內小於的元素的個數，然後將其累加，最後加上（這個元素本身），就是這個元素在區間內的排名了。
單次操作時間複雜度：【線段樹上找區間：，查詢排名：】。
二、查詢區間內排名為的元素
這個操作相比其他操作就略有些複雜了。
直接查詢過於麻煩，而且難以實現，所以我們可以二分這個元素，然後通過查詢排名來判斷這個元素大了還是小了即可。
單次操作時間複雜度：【二分：，樹套樹查詢排名：】。
三、修改某一位的值
線上段樹上找出每一個包含這一位的區間，在中將原先的元素刪去，然後加入新的元素即可。
單次操作時間複雜度：【線段樹上找區間：，刪除+插入：】
四、查詢一個元素在區間內的前驅
我們可以線上段樹上求出每一段需要查詢的區間內的前驅，然後取即可。
單次操作時間複雜度：【線段樹上找區間：，查詢前驅：】。
五、查詢一個元素在區間內的後繼
與查詢前驅類似，我們可以線上段樹上求出每一段需要查詢的區間內的後繼，然後取即可。
單次操作時間複雜度：【線段樹上找區間：，查詢後繼：】。
程式碼
#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned int
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define INF 2147483647
#define Inc(x,y) ((x+=y)>=MOD&&(x-=MOD))
#define N 50000
using namespace std;
int n,tot=0,a[N+5];
struct Tree
{
int Son[2],Val,Cnt,Size,Data;
}node[N*30+5];
class FIO
{
private:
#define Fsize 100000
#define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
#define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
int f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
public:
FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=(x<<3)+(x<<1)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
inline void write(int x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
inline void write_char(char x) {pc(x);}
inline void write_string(string x) {register int i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
}F;
class Class_Treap//Treap
{
private:
#define Rand() ((r*=233333LL)%=2147483647)
#define PushUp(x) (node[x].Size=node[node[x].Son[0]].Size+node[node[x].Son[1]].Size+node[x].Cnt)
#define Rotate(x,d) (k=node[x].Son[d^1],node[x].Son[d^1]=node[k].Son[d],node[k].Son[d]=x,x=k,PushUp(node[x].Son[d]),PushUp(x))
int rt,k;ull r;
inline int Build(int val) {node[++tot].Val=val,node[tot].Cnt=node[tot].Size=1,node[tot].Son[0]=node[tot].Son[1]=0,node[tot].Data=Rand();return tot;}
inline void ins(int &x,int val)
{
if(!x) return (void)(x=Build(val));
++node[x].Size;
if(node[x].Val==val) ++node[x].Cnt;
else if(node[x].Val>val) {ins(node[x].Son[0],val);if(node[x].Data<node[node[x].Son[0]].Data) Rotate(x,1);}
else {ins(node[x].Son[1],val);if(node[x].Data<node[node[x].Son[1]].Data) Rotate(x,0);}
PushUp(x);
}
inline void del(int &x,int val)
{
if(!x) return;
if(node[x].Val==val)
{
if(node[x].Cnt>1) return (void)(--node[x].Cnt,PushUp(x));
if(node[x].Son[0]||node[x].Son[1])
{
if(!node[x].Son[1]||node[node[x].Son[0]].Data>node[node[x].Son[1]].Data) Rotate(x,1),del(node[x].Son[1],val);
else Rotate(x,0),del(node[x].Son[0],val);
}
else x=0;
}
else if(node[x].Val>val) del(node[x].Son[0],val);
else del(node[x].Son[1],val);
PushUp(x);
}
public:
Class_Treap() {r=2333;}
inline bool empty() {return !rt;}
inline void Insert(int val) {ins(rt,val);}
inline void Delete(int val) {del(rt,val);}
inline int get_rank(int val)//與傳統的get_rank()有點區別，這裡的get_rank()求的是小於val的值的個數
{
register int x=rt,rk=0;
while(x)
{
if(node[x].Val==val) return node[node[x].Son[0]].Size+rk;
node[x].Val>val?x=node[x].Son[0]:(rk+=node[node[x].Son[0]].Size+node[x].Cnt,x=node[x].Son[1]);
}
return rk;
}
inline int get_val(int rk)
{
register int x=rt;