【poj 1286 Necklace of Beads】【具有對稱性的計數】【polya計數】【項鍊染色方案數】
阿新 • • 發佈:2018-12-14
【連結】
【題意】
n個珠子串成一個圓,用三種顏色去塗色。問一共有多少種不同的塗色方法(翻轉,旋轉相同)
翻轉:如果n是奇數,則存在n中置換,每種置換包含n/2+1種迴圈(即輪換)。
如果n是偶數,如果對稱軸過頂點,則存在n/2種置換,每種置換包含n/2種迴圈(即輪換)
如果對稱軸不過頂點,則存在n/2種置換,每種置換包含n/2+1種迴圈(即輪換)
旋轉:n個點順時針或者逆時針旋轉i個位置的置換,輪換個數為gcd(n,i)
最後要: ans/=(置換數)(|G|=n+n/2+n/2)
【程式碼】
#include<cstdio> #include<math.h> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn = 1e4 + 6; typedef long long ll; ll gcd(ll a, ll b) { return b==0 ? a : gcd(b, a%b); } int main() { int n; while (~scanf("%d", &n), (n + 1)) { if (n == 0) { printf("0\n"); continue; } ll ans = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { ans += pow(1.0*3, 1.0*gcd(i, n)); } if (n & 1)ans += n * pow(1.0*3,1.0*(n / 2 + 1)); else ans += n / 2 * pow(3.0, 1.0*(n / 2 + 1)) + n / 2 * pow(3.0, n / 2); ans /= 2 * n; printf("%lld\n", ans); } }