【矩陣專題】入門題目
【矩陣】Fibonacci
題目描述
In the Fibonacci integer sequence, F0 = 0, F1 = 1, and Fn = Fn − 1 + Fn − 2 for n ≥ 2. For example, the first ten terms of the Fibonacci sequence are: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … An alternative formula for the Fibonacci sequence is
Given an integer n, your goal is to compute the last 4 digits of Fn.
輸入
The input test file will contain multiple test cases. Each test case consists of a single line containing n (where 0 ≤ n ≤ 1,000,000,000). The end-of-file is denoted by a single line containing the number −1.
輸出
For each test case, print the last four digits of Fn. If the last four digits of Fn are all zeros, print ‘0’; otherwise, omit any leading zeros (i.e., print Fn mod 10000).
樣例輸入
0
9
999999999
1000000000
-1
樣例輸出
0
34
626
6875
提示
As a reminder, matrix multiplication is associative, and the product of two 2 × 2 matrices is given by
Also, note that raising any 2 × 2 matrix to the 0th power gives the identity matrix:
這個是最簡單的題目了。
算是一個入門題吧，就是用矩陣乘法來表示前一項和後一項。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=2; const int Mod=10000; typedef struct Matrix{ int mat[N][N]; }Matrix; Matrix operator *(Matrix a,Matrix b){ Matrix c; for(int i=0;i<N;i++){ for(int k=0;k<N;k++){ c.mat[i][k]=0; for(int j=0;j<N;j++){ c.mat[i][k]=(c.mat[i][k]+(a.mat[i][j]*b.mat[j][k])%Mod)%Mod; } } } return c; } Matrix operator ^(Matrix a,int b){ Matrix c; for(int i=0;i<N;i++){ for(int j=0;j<N;j++){ c.mat[i][j]=(i==j); } } while(b){ if(b&1){ c=c*a; } a=a*a; b>>=1; } return c; } int main() { Matrix a; a.mat[0][0]=1;a.mat[0][1]=1; a.mat[1][0]=1;a.mat[1][1]=0; int n; while(~scanf("%d",&n)){ if(n==-1) return 0; Matrix fn; fn=a^n; printf("%d\n",fn.mat[0][1]); } return 0; }
【矩陣】數列
題目描述
一個數列定義如下：f(1)=1,f(2)=1,f(n)=(A*f(n-1)+B*f(n-2)) mod 7。給定A,B和n的值，要求計算f(n)的值。
輸入
一行三個整數A，B和n，其中1≤A，B≤1000,1≤n≤1e8
輸出
一行，一個整數，即f(n)的值
樣例輸入
1 1 3
樣例輸出
2
這個題目和第一題神似，主要還是通過前兩項來推到下一項得到結果。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2;
const int Mod=7;
typedef struct Matrix{
int mat[N][N];
}Matrix;
Matrix operator *(Matrix a,Matrix b){
Matrix c;
for(int i=0;i<N;i++){
for(int k=0;k<N;k++){
c.mat[i][k]=0;
for(int j=0;j<N;j++){
c.mat[i][k]=((a.mat[i][j]*b.mat[j][k])%Mod+c.mat[i][k])%Mod;
}
}
}
return c;
}
Matrix operator ^(Matrix a,int b){
Matrix c;
for(int i=0;i<N;i++){
for(int j=0;j<N;j++){
c.mat[i][j]=(i==j);
}
}
while(b){
if(b&1){
c=c*a;
}
a=a*a;
b>>=1;
}
return c;
}
int main()
{
int A,B,n;
scanf("%d%d%d",&A,&B,&n);
if(n<=2){
return 0*printf("1\n");
}
Matrix a,b,fn;
a.mat[0][0]=A,a.mat[0][1]=B;
a.mat[1][0]=1,a.mat[1][1]=0;
b.mat[0][0]=1,b.mat[0][1]=0;
b.mat[1][0]=1,b.mat[1][1]=0;
fn=a^(n-2);
fn=fn*b;
printf("%d\n",fn.mat[0][0]);
}【矩陣】普通遞推數列
題目描述
給出一個k階齊次遞推數列{fi}的通項公式fi=a1fi-1+a2fi-2+...+akfi-k(i≥k),以及初始值f0,f1,...fk-1，求fn。
輸入
第一行2個整數：n(0≤n≤1000000)和k（1≤k≤100）。 第二行k個整數：a1,a2,...,ak（0≤ai≤10000,1≤i≤k）。 第三行k個整數：f0,f1,...,fk-1（0≤fi<10000,0≤i≤k）。
輸出
一行一個整數p，是fn除以10000的餘數。
樣例輸入
10 2
1 1
1 1
樣例輸出
89
主要還是經過前後兩項的推導得出。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=105;
const int Mod=10000;
int n,K;
typedef struct Matrix{
int mat[N][N];
}Matrix;
Matrix operator *(Matrix a,Matrix b){
Matrix c;
for(int i=0;i<K;i++){
for(int k=0;k<K;k++){
c.mat[i][k]=0;
for(int j=0;j<K;j++){
c.mat[i][k]=((a.mat[i][j]*b.mat[j][k])%Mod+c.mat[i][k])%Mod;
}
}
}
return c;
}
Matrix operator ^(Matrix a,int b){
Matrix c;
for(int i=0;i<K;i++){
for(int j=0;j<K;j++){
c.mat[i][j]=(i==j);
}
}
while(b){
if(b&1){
c=c*a;
}
a=a*a;
b>>=1;
}
return c;
}
int main()
{
Matrix a,b;
int d[N],f[N];
scanf("%d%d",&n,&K);
for(int i=0;i<K;i++){
scanf("%d",&d[i]);
a.mat[0][i]=d[i];
}
for(int i=0;i<K;i++){
scanf("%d",&f[i]);
}
for(int i=1;i<K;i++){
for(int j=1;j<K;j++){
a.mat[i][j-1]=(i==j);
}
}
if(n<=K-1){
return 0*printf("%d\n",f[n]);
}
b=a^(n-K+1);
int ans=0;
for(int i=0;i<K;i++){
ans=((b.mat[0][i]*f[(K-1)-i])%Mod+ans)%Mod;
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}