1. 基本概念

在對控制系統進行動態分析和研究時,首先需要建立系統的數學描述，即數學模型。

在經典控制理論中，只表明系統輸入-輸出關係的數學描述通常是微分方程（或差分方程）、傳遞函式（代數方程）或方框圖。

在現代控制理論中，對於系統的數學描述除了表達系統的輸入-輸出關係外，還要加上反映系統內部狀態變化的參量-狀態變數，這種描述方法稱狀態空間描述。其數學模型為狀態空間方程。

基本概念：

1. 狀態 指系統的運動狀態（可以是物理的或非物理的）。狀態可以理解為系統記憶，$t=t_0$時刻的初始狀態能記憶系統在$t<t_0$時刻全部輸入資訊。
2. 狀態變數 動態系統的狀態變數是確定動態系統狀態的數量最少的一組變數
3. 狀態向量 如果完全描述一個系統的動態行為需要n個狀態變數，那麼可將這n個狀態變數看作向量$x(t)$的各個分量，$x(t)$就叫狀態向量。表示為： $x(t)=\begin{bmatrix} x_1(t)\\x_2(t)\\ \vdots\\x_n(t)\\ \end{bmatrix}$
4. 狀態空間 容納狀態向量的空間
5. 狀態方程 由系統的狀態變數構成的一階微分方程組，稱為狀態方程。反映系統中狀態變數和輸入變數間的因果關係，也反映每個狀態變數對時間的變化關係。
6. 輸出方程 在指定輸出的情況下，該輸出與狀態變數和輸入之間的函式關係反映系統中輸出變數與狀態變數和輸入變數的因果關係。
7. 狀態空間描述 包括狀態方程和輸出方程。涉及：輸入變數、輸出變數和狀態變數

2. 系統的狀態空間描述

經典控制理論：線性定常單輸入-單輸出（SISO）系統 現代控制理論：可以是線性定常SISO系統，也可以是多輸入-多輸出（MIMO）系統，線性或非線性系統，定常或時變系統，其本質是一種時域方法

例題：對於系統微分方程：$y'''+6y''+41y'+7y=6u$

，零初始條件下，對其進行拉氏變換得到： $G(s)=\frac {Y(s)} {U(s)}=\frac 6 {s^3+6s^2+41s+7}$ 經典控制理論中，穩定性分析是通過閉環特徵方程的根在複平面上的位置來進行的，其動態響應分析是通過某一輸入下的$Y(s)$進行拉式反變換求得。

現代控制理論中，我們用狀態變數來描述其內部的狀態 ，並且確定其狀態變數與系統的輸入和輸出的關係(內部描述)。 假設狀態變數：$\left\{\begin{matrix} x_1=y\\ x_2=\dot{x_1}=\dot y\\ x_3=\dot{x_2}=\ddot{x_1}=\ddot{y} \end{matrix}\right.$ 用一階微分方程組表示為： $\left\{\begin{matrix} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=x_3\\ \dot x_3=6u-6x_3-41x_2-7x \end{matrix}\right.$ 可以用矩陣和向量的形式表示（狀態方程）： 其輸出與狀態變數的關係也可用向量和矩陣表示為（輸出方程）： 對於線型定常系統，其屬性模型為： 系統有 r個 輸入變數， n個狀態變數， m個 輸出變數；一般 $r\le n$ 系統的狀態方程為： 或者表示為： $\dot x(t)=Ax(t)+Bu(t)$ A為nn的常係數矩陣，稱作系統矩陣 ； B為nr的常係數矩陣，稱作控制矩陣。A與B都由系統本身的引數決定。u是輸入訊號，x是狀態向量。

系統的輸出方程： 用向量和矩陣表示為： $y(t)=Cx(t)+Du(t)$ C 為mn的常係數矩陣，稱為輸出矩陣，它表達了輸出變數與狀態變數之間的關係；D 為mr的常係數矩陣，稱為直接轉移矩陣，它表示輸入變數通過矩陣D直接轉移到輸出。在大多數實際系統中，D=0。y是輸出，x是系統狀態，u是輸入。 狀態空間描述=狀態方程+輸出方程

對於 連續時間系統（無論線性或非線性，時變或時不變）其狀態空間表示式一般可表示為： 對於 線性定常連續系統 ，狀態空間表示式可表示為： 對於 線性時變連續系統 ，狀態空間表示式可表示：

狀態空間描述框圖

對於 線性定常連續系統 ，狀態空間表示式可表示為： 可以使用方框圖描述：

例題： 畫出上面例題中的狀態框圖： 答案：

狀態變數選取的非唯一性

同一個系統可以選取不同的變數作為狀態變數

例題： 已知系統的微分方程為：$y'''+6y''+41y'+7y=6u$ ，若要建立系統的狀態空間表示式，可採用以下兩種不同方法選取狀態變數。 注意：對於同一系統，其狀態變數雖然可按不同方法選取，但狀態變數的數目卻是唯一的（相同的），它由系統微分方程的階數決定。

3. 由系統微分方程列寫狀態空間表示式

一個動態系統，常用微分方程來描述其輸入－輸出的關係。通過選取合適的狀態變數可以建立系統的狀態空間表示式。

分兩種情況分析： 一.微分方程中不包含輸入函式的導數項 二.微分方程中包含輸入函式的導數項

一.微分方程中不包含輸入函式的導數項

微分方程形式如下： $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1\dot y+a_0 y=b_0 u$

相變數法

1. 相變數法選取狀態變數 令$x_1 = y$
2. 則狀態空間表示式為
3. 其狀態框圖

其他方法：

1. 令$x_1 = y$
2. 

二.微分方程中包含輸入函式的導數項

微分方程形式如下： $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1\dot y+a_0 y=b_0 u+b_1\dot u+...+b_ru^{(r)}$ 要寫出其一階微分方程組，按以往方法（相變數法）將導致含u的各階導數（而不是一階微分方程)! 因此狀態變數的選取需採用另外的形式。

1. 狀態變數的選取 則狀態方程為： 但是其中$x_{n+1}$與$\beta_1,\beta_2,...,\beta_n$未知，若能求出這些，則該狀態方程就確定了。
2. 使用待定係數法求$x_{n+1}$與$\beta_1,\beta_2,...,\beta_n$ 帶入微分方程 由於微分方程式兩邊相等 即 而由方程兩邊對應的輸入及其各階導數項的係數相等，可得 即 $\beta_i=b_{n-i}-\sum_{k=1}^i a_{n-k}\beta_{i-k}$