Given n non-negative integers a1, a2, …, an , where each represents a point at coordinate (i, ai). n vertical lines are drawn such that the two endpoints of line i is at (i, ai) and (i, 0). Find two lines, which together with x-axis forms a container, such that the container contains the most water.

Note: You may not slant the container and n is at least 2.

Example: Input: [1,8,6,2,5,4,8,3,7] Output: 49

網上給出的最優演算法都比較類似，其基本想法是：將挑選的兩條邊分別從兩端$a_0, a_n$開始向中間移動，每一次只能移動兩條邊中的一條。每次移動的標準是將較小的那條邊往中間移動一格。如果移動後的面積有所增長，則將面積最大值更新。當兩條邊相遇時，則停止。

網上幾乎都只有這個演算法的描述，而沒有提供一個嚴格的數學證明。和好友Meiyf討論後，整理出這個演算法的數學證明。

考慮分佈在左右兩邊的移動指標$a_{}$

假設最優解為$a_i, a_j$，則我們有：$0 \leq i < j \leq n$。根據演算法的移動方式，總是可以通過“$a_l$從$a_0$右移、$a_r$從$a_n$左移”若干步的方式，到達$a_i, a_j$。

由於演算法每一次只能移動一步（即$a_l$右移一步或$a_r$左移一步），所以兩種情況：

• $a_{}$
  la_l先到達$a_i$
• $a_r$先到達$a_j$

必然有一種先發生。不妨假設$a_l$先到達$a_i$（那麼此時，$a_r$也就還未通過左移到達$a_j$，它還在$a_j$的右側）。那麼，我們只需證明：

在現有的演算法下，後續的更新步驟__都只能是__：$a_r$不斷左移、直到到達$a_j$。

我們可以通過反證法來證明上述結論。

令函式$h(a_t)$表示點$a_t$對應的線段長度，令$w(a_s, a_t)$表示點$a_s$和$a_t$構成的線段長度。

若假設不成立，則存在某一步：在$a_r$還未通過左移到達$a_j$時，停留在$a_i$的$a_l$需要右移一步。

下面我們來證明不可能出現上面這種情況。

若上述發生，則我們有以下結論：

1. $l = i < j < r$
2. $h(a_i) = h(a_l) < h(a_r)$。因為根據演算法，只有長度更小的那一條邊才能向中間移動。所以，只有當$h(a_l)$小於$h(a_r)$時，才可能出現$a_l$右移。

由此，我們可以得到由$a_i, a_r$兩條邊形成的面積為：$S^* = h(a_i) * w(a_i, a_r).$

這裡的高度之所以取為$h(a_i)$，是因為上面第2條已經說明了$h(a_i)$比$h(a_r)$小。

而此時，因為第1條已經說明$j < r$，所以$w(a_i, a_r) > w(a_i, a_j)$。所以我們有：

$S^* = h(a_i) * w(a_i, a_r) > h(a_i) * w(a_i, a_j) \geq \min{\{h(a_i), h(a_j)\}} * w(a_i, a_j) = S_{max}$

矛盾。所以假設命題不成立，進而當$a_l$到達$a_i$後，後續的所有更新步驟都只能是$a_r$不斷左移、直到到達$a_j$。

所以，在這樣的演算法之下，一定能夠到找到面積的最優解$S_{max}$。