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一元四次方程為什麼沒有12個解

高等代數的教科書裡面講到使用Ferrari(費拉里)解法求解四次方程時,從三次方程求得u的三個根,如果依次代入分解後得兩個二次方程引數,最後求的四次方程得解,如果對每一個u四次方程都有解那麼4個解,那麼是不是最後有34=123*4=12個解呢?很多教材只是簡單的講到對每一個u四次方程的解都是一樣。就這麼簡單一句要秒殺多少腦細胞。直接證明有點難,反正作者本人是沒能直接證明出來。現在介紹尤拉的方法解四次方程,從另一個角度能看到為什麼對於每一個u求解出來的四次方程的根相同。每一個一元四次方程變數代換x=y-b/4都可以消去三次項變成為下式 (1)x4+px2+qx+r=(x2+sx+t)

(x2+ux+v)x^4 + px^2 + qx + r=(x^2+sx+t)(x^2+ux+v)\tag{1} 根據(1)式求待定的係數得到下面的方程組 (2)s=up=tu2+vq=u(vt)r=tv \begin{aligned} s&=-u\\ p&=t-u^2+v\\ q&=u(v-t)\\ r&=tv \tag{2} \end{aligned} 整理方程組,將u,t,v看作是變數則根據三元一次方程組可以求得下面的關係 (3)
s=ut=(p+u2qu)2v=(p+u2+qu)2 \begin{aligned} s&=-u\\ t&=\frac{(p+u^2-\frac{q}{u})}{2}\\ v&=\frac{(p+u^2+\frac{q}{u})}{2}\tag{3} \end{aligned}
且由於u2(p+u2)2q2=4u2ru^2(p+u^2)^2-q^2=4u^2r若設U=u2U=u^2則U滿足下面的三次多項式 (4)U3+2p
U2+(p24r)Uq2=0 U^3+2pU^2+(p^2-4r)U-q^2=0\tag{4}
回過頭來看等式(1)如果設r1r_1r2r_2是方程x2+sx+t=0x^2+sx+t=0的根,r3r_3r4r_4是方程x2+ux+v=0x^2+ux+v=0的兩個根。顯然有下面的等式成立 (5)r1+r2+r3+r4=0r_1+r_2+r_3+r_4=0\tag{5} 且因為(r1+r2)(r3+r4)=u2-(r_1+r_2)(r_3+r_4)=u^2所以(r1+r2)(r3+r4)-(r_1+r_2)(r_3+r_4)也一定是方程(4)的解。那方程(4)的另外兩個根會是什麼呢?普通人思考到這裡時也許就戛然而止了,但是尤拉卻繼續發現兩外兩個根是(r1+r3)(r2+r4)-(r_1+r_3)(r_2+r_4)(r1+r4)(r2+r3)-(r_1+r_4)(r_2+r_3)若令 (*)(r1+r2)(r3+r4)=(r1+r2)2=α(r1+r3)(r2+r4)=(r1+r3)2=β(r1+r4)(r2+r3)=(r1+r4)2=γ根據韋達定理r1+r2=u,r3+r4=u \begin{aligned} -(r_1+r_2)(r_3+r_4) &=(r_1+r_2)^2=\alpha\\ -(r_1+r_3)(r_2+r_4) &=(r_1+r_3)^2= \beta\\ -(r_1+r_4)(r_2+r_3) &= (r_1+r_4)^2=\gamma\tag{*}\text{根據韋達定理$r_1+r_2=-u,r_3+r_4=u$} \end{aligned} 要證明它們是方程(4)的三個根那麼等同於必須滿足韋達定理的條件,即滿足 (6)[(r1+r2)(r3+r4)]+[(r1+r3)(r2+r4)]+[(r1+r4)(r2+r3)]=α+β+γ=2p[-(r_1+r_2)(r_3+r_4)]+[-(r_1+r_3)(r_2+r_4)] +[-(r_1+r_4)(r_2+r_3)]=\alpha+ \beta+\gamma=-2p\tag{6} (7)[(r1+r2)(r3+r4)][(r1+r3)(r2+r4)]+[(r1+r2)(r3+r4)][(r1+r4)(r2+r3)]+[(