一元四次方程為什麼沒有12個解
阿新 • • 發佈:2018-12-15
高等代數的教科書裡面講到使用Ferrari(費拉里)解法求解四次方程時,從三次方程求得u的三個根,如果依次代入分解後得兩個二次方程引數,最後求的四次方程得解,如果對每一個u四次方程都有解那麼4個解,那麼是不是最後有個解呢?很多教材只是簡單的講到對每一個u四次方程的解都是一樣。就這麼簡單一句要秒殺多少腦細胞。直接證明有點難,反正作者本人是沒能直接證明出來。現在介紹尤拉的方法解四次方程,從另一個角度能看到為什麼對於每一個u求解出來的四次方程的根相同。每一個一元四次方程變數代換x=y-b/4都可以消去三次項變成為下式 根據(1)式求待定的係數得到下面的方程組 整理方程組,將u,t,v看作是變數則根據三元一次方程組可以求得下面的關係 且由於若設則U滿足下面的三次多項式 回過頭來看等式(1)如果設與是方程的根,和是方程的兩個根。顯然有下面的等式成立 且因為所以也一定是方程(4)的解。那方程(4)的另外兩個根會是什麼呢?普通人思考到這裡時也許就戛然而止了,但是尤拉卻繼續發現兩外兩個根是與若令 要證明它們是方程(4)的三個根那麼等同於必須滿足韋達定理的條件,即滿足