描述

Xiaoming has just come up with a new way for encryption, by calculating the key from a publicly viewable number in the following way:

Let the public key N = A^B, where 1 <= A, B <= 1000000, and a0, a1, a2, …, ak-1 be the factors of N, then the private key M is calculated by summing the cube of number of factors of all ais. For example, if A is 2 and B is 3, then N = A^B = 8, a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8, so the value of M is 1 + 8 + 27 + 64 = 100.

However, contrary to what Xiaoming believes, this encryption scheme is extremely vulnerable. Can you write a program to prove it?

輸入

There are multiple test cases in the input file.

Each test case starts with two integers A, and B. (1 <= A, B <= 1000000). Input ends with End-of-File.

輸出

For each test case, output the value of M (mod 10007) in the format as indicated in the sample output.

提示

2008 Asia Hangzhou Regional Contest Online.

分析

給定A,B，求 $N=A^B$的各個因子的因子個數的立方和。比較拗口，用公式敘述。設N的因子為 $a_{}$

1 , a 2 , . . . , a k a_1,a_2,...,a_k ，對於任意 $a_i (1\leq i\leq k)$，求 $a_i$的因子個數 ，然後求得最終結果 $M=\sum_{i=0}^{k}n$，輸出結果取餘10007。
定義1：函式 $d(a)$是 $a$的因子個數。例如，4的因子個數為3個，分別是1,2,4,則 $d(4)=3$。
定義2：函式 $D(N)$是 $N$的各個因子的立方和，即 $D(N)=\sum_{m|N}m^3$。
引理1： $d(a)$和 $D(N)$是積性函式(multiplicative function)。事實上兩者是除數函式(divisor function)的兩種特殊情況，而除數函式是積性函式。積性函式 $f(x)$具有如下性質：
（1） $f(1)=1$
（2） $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$，當且僅當a,b互質
滿足上面兩條性質，那麼我們說 $f(x)$是積性函式。
引理2：積性函式的除數函式還是積性函式。
證明（可略過）：
{
假設 $f(x)$是積性函式，令 $D(f)$為 $f$的除數函式。假設 $(m,n)=1$（即m,n互質），則有：
$[D(f)](m)=\sum_{a|m}f(a) \quad and \quad [D(f)](n)=\sum_{b|n}f(b)$
即：
$[D(f)](m)\cdot [D(f)](n)=\left( \sum_{a|m}f(a)\right)\left( \sum_{b|n}f(b)\right) =\sum_{a|m} \sum_{b|n} f(a)f(b)$
由於 $(m,n)=1$， $a|m$， $b|n$，故 $(a,b)=1$（證明略，高代基礎）。因此由 $f(x)$為積性函式可得：
$[D(f)](m)\cdot [D(f)](n)=\sum_{a|m} \sum_{b|n} f(ab)$
對於 $mn$的任意一個因子，我們都可以將其寫作 $d=ab$其中 $a|m$且 $b|n$。故：
$[D(f)](m)\cdot [D(f)](n)=[D(f)](m\cdot n)$
得證 $D(f)$為積性函式。
參考：
http://sites.millersville.edu/bikenaga/number-theory/divisor-functions/divisor-functions.html
}

正式解題：

題目要我們求的其實就是 $[D(d)](N)=\sum_{a|N}d(a)$