我相信進來看的人都會快速冪，對吧（和善的眼神）

如果不會。。。。那我們現在開始講吧（要不然為什麼叫詳解2333 ）

如果已經知道，就跳到下面去看吧~

1. 快速冪

1.0 快速冪的誕生——最初的思路

我們通常需要求解形如 a^b mod c 的式子，當b比較小的時候，我們通常可以想到用迴圈乘來解決這個問題，就像這樣：

long long a,a1,b,c;
cin>>a>>b>>c;
a1=a;
for(int i=1;i<=b;i++)
a*=a1,a%=c;
cout<<a;

顯然這個的時間複雜度是O（b）的，在平時基本夠用了。

不過在某些大型的資料結構題裡面（比如無良的線段樹

比如這個例子：

23333 123456787654321 19260817

你可以試著拿剛才那個迴圈跑一下（微笑）

如果你把資料中的b換成123454321，也就只需要跑2.8s而已（微笑x2）

所以，正是為了解決這樣的問題，快速冪出現了。

1.1 快速冪的根據——二進位制

沒錯，快速冪和我們的老朋友二進位制又扯上關係了。

其主要原因是因為二進位制一個很重要的性質，就是當十進位制轉化為二進位制，會出現很有趣的地方。

我們來看這兩個例子：

11= 8+2+1 =2³+2¹+2⁰
34= 32+2 =2⁵

如你所見，它們可以拆成很多個2ⁿ的和。這是廢話
我們再來看這兩個例子:

3¹¹=3⁸ $\times$ 3²$\times$ 3¹
13³⁴=13³² $\times$ 13²

有沒有嗅到一絲危險的氣息 發現什麼有趣的東西?

1.2 快速冪的實現——位運算

如果你已經理解到它與二進位制的關係，那麼接下來的程式碼就很容易懂了：

//計算 (x^y)%mod
long long quick_pow(long long x,long long y,long long mod)
{
	long long sum=1;
    while(y!=0){
         if(y&1==1)sum=
 
sum*x%mod;
    	     x=x*x%mod;
         	y=y>>1;
    }
}

（其實從我個人角度來說，一般在初學某個知識點時看到模板裡面有位運算會感到頭疼。不過，跟二進位制相關的一些東西需要例外，因為這樣反倒會更加容易理解）

程式碼看不懂？沒關係，我們舉個例子就好了，就用上面的3¹¹來說：

1. 開始前：x=3 y=(1011)₂=11;
2. 第一輪：11&1=1,sum=3, x=9, y=(1011>>1)₂=(101)₂=5;
3. 第二輪：5&1=1，sum=27, x=81,y=(101>>1)₂=(10)₂=2;
4. 第三輪：2&1=0，sum=27,x=6561,y=(10>>1)₂=(1)₂=1;
5. 第四輪：1&1=1,sum=177147,x=6561²,y=(1>>1)₂=(0)₂=0;
6. 迴圈結束，退出，得到sum=3¹¹=177147.

看到了嗎？原本迴圈11次的演算法被優化成了迴圈五次，而且由於與二進位制相關聯，指數b每一次減少一半，也就是說這個演算法的時間複雜度是 O（logN）！log級別的演算法代表什麼，我不說大家也清楚~

所以，剛才的那個例子你可以拿來試試，博主不懂怎麼測程式執行時間，只會加檔案輸入輸出。 在本機上跑只花了0.57s，比起剛才的時間明顯是大大優化了。

1.3快速冪總結——二進位制大法好

二進位制，在我們學習的道路上一直起著很大的用處，無論是加快執行的速度的位運算，或是快速處理字首和的樹狀陣列，還是今天提到的快速冪，都靈活運用了二進位制的特性，從而大大優化了我們處理某些問題時浪費的時間和空間。

沒錯，快速冪的核心思想就是通過二進位制的特有屬性，先把次數轉化為二進位制，然後把那些為1的位（有貢獻的）存下來，把為0的位（無貢獻的）丟棄。我們之所以要進行這樣的迴圈，就是為了依次處理出那些為1的位，然後累乘到答案裡面。

實際上，快速冪的應用範圍不止求a^b mod c這一種，矩陣快速冪就是它的一個變式，有興趣的同學可以去了解一下，在處理很多數學問題時非常有用。
（而且似乎也是考點之一？？）

那麼，瞭解了快速冪的這些思想，我們就要開始挑刺思考它被hack的可能性了。

2.龜速乘

2.0 龜速乘的誕生——快速冪的BUG

假設給你一個a^b mod c的式子，現在的你已經可以說：我能夠在log b的時間裡算出來！

了嗎？（和善的眼神x2）

你確定嗎？（和善的眼神x3）

來來來，算一算這個，看看你的快速冪還活著不：

19260817 2333333 1234567654321

（我會說我只是把數字換了下順序嗎）

很好，現在我們找到了快速冪的一個大問題：當模數>1e9的時候，光是在相乘的時候就已經爆long long了。（當然你可以用__int128，不過NOIP似乎不允許 ）

那怎麼辦？我們不能用快速冪了嗎？

事實上想用還是可以的，不過看看標題，你就知道為了適應新的資料範圍，我們需要付出什麼代價了……

2.1 龜速乘的根據&實現——慢工出細活

比起計算機自帶的乘法，龜速乘的的執行速度還要慢上一些。

但是，它可以有效地保證你的long long不會boom的一聲炸掉，然後送給你一個神奇的數字。

程式碼奉上：

long long quick_mul(long long x,long long y,long long mod) 
{
	long long ans=0;
	while(y!=0){
		if(y&1==1)ans+=x,ans%=mod;
		x=x+x,x%=mod;
		y>>=1; 
	}
	return ans;
}

long long quick_pow(long long x,long long y,long long mod)
{
	long long sum=1;
    while(y!=0){
         if(y&1==1)sum=quick_mul(sum,x,mod),sum%=mod;
    	     x=quick_mul(x,x,mod),x%=mod;
         	 y=y>>1;
    }
    return sum;
}

相信你一眼就能看出來，這兩個東西長的不是一般的像。

如果再仔細觀察一下就會發現，快速冪裡的x是指數級增長，而龜速乘變成了翻倍，僅此而已。

2.2 龜速乘總結——快速冪的補充

實際上，龜速乘的確慢，甚至比直接用開始提到的迴圈乘法還要慢（因為龜速乘相當於一個自行取模的乘號），然而慢工出細活，正是它的慢最終為我們解決了資料過大時產生的問題。

歸根結底，龜速乘的出發點就是為了解決彌補快速冪的BUG，因而其思想與快速冪也十分接近。用一點點時間換來資料範圍的擴大，想來是個不虧的交易。

當然，平時不擔心爆long long的情況下，就沒必要把龜速乘加上了~

講了這麼多，我們再看看最上面的標題，
貌似還有個壓軸的東西沒有講……

3.快速乘

3.0快速乘的誕生—— 更精練，更簡短

人們在研發出上面龜速乘以後，再也不用為了次方運算+取模的題型煩惱了……

然而，總是有人不滿足：

就為了這種小問題，要我再多背那麼長的模板？我才不幹！

（以上純屬yy ）

真相到底是什麼我們無從知曉，但我們清楚的是結果：

那就是複雜度為O（1）的，一行可以打完的，快速乘的誕生。

3.1快速乘的根據——long double和long long的轉換

這一部分也是剛剛學到，所以我只能找網上的資料了：

這是2009國家集訓隊論文：
駱可強：《論程式底層優化的一些方法與技巧》 （%%%）

說白了，其實我們就是在原地爆炸的邊緣瘋狂試探，把本來存進long long會炸掉的值先進行計算，用long double暫時存下，然後再把差值——一個不會超過long long的數字塞回去，再特判一下精度問題，就大功告成了。

所以，在壓行之後就變成了這樣：

        cin>>a>>b>>mod;
    	cout<<((a*b-(long long)((long double)a*b/mod)*mod+mod)%mod);

簡潔明瞭，速度O（1），不過數值過大時容易造成誤差，畢竟long double轉換時會有精度上的誤差，所以在真正要用的時候，還是建議大家使用龜速乘吧

(不過聽說機房大佬dzyo用過幾次都沒什麼事，emmm……)

至此，三種與冪運算相關的演算法就全部講完啦~

（P.S：博主第一篇講解貼，若有不足敬請指出！順便謝謝各位觀看！）