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How Many Sets II(Lucas定理模板)

【題意】 從n個相同小球中取m個小球,不能取相鄰的小球的方案數

【思路】 首先拿出 mm 個小球,還剩下 nmn-m 個小球。這 nmn-m 個小球一共有 nm+1n-m+1 個空(左右兩邊也可以),把這 mm 個小球插入到這 nm+1n-m+1 個空裡就是答案,即Ans=Cnm+1mAns=C_{n-m+1}^{m},記錄一下LucasLucas 定理的模板

Lucas 定理

求解 Cnm(modp)C_n^m \ \ (mod p) 首先將n和m分解為p進位制: n=nkpk+nk1pk

1+...+n1p+n0n=n_kp^k+n_{k-1}p^{k-1}+...+n_1p+n_0 m=mkpk+mk1pk1+...+m1p+m0m=m_kp^k+m_{k-1}p^{k-1}+...+m_1p+m_0 那麼 Ansi=0kCnimi(modp)Ans≡∏_{i=0}^{k}C_{n_i}^{m_i} \ \ (modp)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=10050;
int mod;

ll pw(ll x,ll n){
	ll ans=1LL;
	while(n){
		if(n&1) ans=ans*x%mod;
		x=x*x%mod;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}

ll inv(ll a){return pw(a,mod-2);}

ll C(int n,int m){
    if(m>n) return 0LL;
    ll up=1LL,down=1LL;
    for(int i=n-m+1;i<=n;++i) up=up*i%mod;
    for(int i=1;i<=m;++i) down=down*i%mod;
    return up*inv(down)%mod;
}

ll Lucas(int n,int m){
	if(m>n) return 0LL;
    ll ans=1LL;
    for (;m;n/=mod,m/=mod)
        ans=ans*C(n%mod,m%mod)%mod;
    return ans;
}

int main(){
	int n,m;
	while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod)==3){
		printf("%lld\n",Lucas(n-m+1,m));
	}
	return 0;
}