Description

• 求 $x^N\equiv A(mod~P)$ 在模 $P$ 意義下的解的數量，$P$ 是奇數。
• $N,A,P\le 10^9$。

Solution

• 神仙數論題。
• 我們知道，直接對這個方程求解有一定的困難。
• 我們設 $P=\prod_{i=1}^cp_i^{k_i}$，$p_i$ 是質數。
• 根據中國剩餘定理，原方程解的數量即所有方程 $x^N\equiv A~\%~p_i^{k_i}(mod~p_i^{k_i})$ 在模 $p_i^{k_i}$ 意義下的解的數量的乘積。
• 現在的問題即求形如 $x^N\equiv a(mod~p^k)$ 的方程在模 $p^k$ 意義下的解的數量。
• 我們分類討論一下。

1. 當 $(a,p^k)=a$ 時

• 可以知道原方程等價於 $p^k|x^N$。
• 即 $x^N$ 至少含有 $k$ 個質因子 $p$。
• 所以 $p^{\lceil\frac{k}{N}\rceil}|x$。
• 所以在 $[0,p^k)$
  中，$x$ 共有 $\frac{p^k}{p^{\lceil\frac{k}{N}\rceil}}=p^{k-\lceil\frac{k}{N}\rceil}$ 個。
• 該方程解即有 $p^{k-\lceil\frac{k}{N}\rceil}$ 個。

2. 當 $(a,p^k)=1$ 時

• 可以知道 $x\perp p$ 且 $x\in [0,p^k)$。
• 我們找到 $p^k$ 的一個原根 $g$。
• 所以存在 $y=ind_gx$
  ，$q=ind_ga$。
• 原方程等價於 $yN\equiv q(mod~\varphi(p^k))$。
• 這是一個線性同餘方程。
• 當 $(N,\varphi(p^k))\nmid q$ 時，原方程無解。
• 否則根據線性同餘方程的性質，這個方程在 $y\in[0,\varphi(p^k))$ 的條件下，就有 $(N,\varphi(p^k))$ 個解。
• 我們簡單證明一下這個很常用的性質：
• 即證 $ax\equiv b(mod~p)$ 若存在解，則有 $(a,p)$ 個模 $p$ 意義下的解。
• 證明：
  • 我們假設得到一個特解 $x_0$，通解表示為 $x_0+k·\frac{p}{(a,p)}(k\in \mathbb Z)$。
  • 我們定義函式 $f(k)=x_0+\frac{p}{(a,p)}·k(k\in \mathbb Z)$。
  • 即證 $f(k)\in [0,p)$ 恰有 $(a,p)$ 個整數解。
  • 顯然 $f(k)$ 單調遞增。
  • 我們找到一個 $k_0$ 使得 $f(k_0)\in[0,\frac{p}{(a,p)})$。
  • 那麼有 $f(k_0+(a,p))\in[p,p+\frac{p}{(a,p)})$，且 $f(k_0+(a,p)-1)\in[p-\frac{p}{(a,p)},p)$。
  • 所以當 $k\in[k_0,k_0+(a,p))$ 時，滿足 $f(k)\in [0,p)$，即不等式有 $(a,p)$ 個整數解。
  • 證畢。

3. 當 $1<(a,p^k)<a$ 時

• 原方程可以寫成 $x^N\equiv a'p^t(mod~p^k)$，$(a',p)=1$。
• 當且僅當 $N|t$，原方程有解。
• 寫成不定方程的形式，即 $x^N+p^kz=a'p^t$。
• 兩邊同除 $p^t$，得 $(\frac{x}{p^{\frac{t}{N}}})^N+p^{k-t}z=a'$