指數迴圈節

在有些題目中我們需要對指數進行降冪處理才能計算。比如計算

其中和

這裡由於很大，所以需要進行降冪。那麼實際上有如下降冪公式

給定，和的值，求的值，其中，

程式碼： 

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
 
using namespace std;
const int N = 1000005;
typedef long long LL;
 
char str[N];
 
int phi(int n)//求φ(n)
{
    int rea = n;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    {
        if (n % i == 0)
        {
            rea = rea - rea / i;
            while (n % i == 0)
            {
                n /= i;
            }
        }
    }
    if (n > 1)
    {
        rea = rea - rea / n;
    }
    return rea;
}
 
LL multi(LL a, LL b, LL m)//快乘a*b%m
{
    LL ans = 0;
    a %= m;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
        {
            ans = (ans + a) % m;
            b--;
        }
        b >>= 1;
        a = (a + a) % m;
    }
    return ans;
}
 
LL quick_mod(LL a, LL b, LL m)//快速冪a^b%mod
{
    LL ans = 1;
    a %= m;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
        {
            ans = multi(ans, a, m);
            b--;
        }
        b >>= 1;
        a = multi(a, a, m);
    }
    return ans;
}
 
void Solve(LL a, char str[], LL c)//a^str%c
{
    LL len = strlen(str);
    LL ans = 0;
    LL p = phi(c);
    if (len <= 15)
    {
        for (int i = 0; i < len; i++)
        {
            ans = ans * 10 + str[i] - '0';
        }
    }
    else
    {
        for (int i = 0; i < len; i++)
        {
            ans = ans * 10 + str[i] - '0';
            ans %= p;
        }
        ans += p;
    }
    printf("%I64d\n", quick_mod(a, ans, c));
}
 
int main()
{
    LL a, c;
    while (~scanf("%I64d%s%I64d", &a, str, &c))
    {
        Solve(a, str, c);
    }
    return 0;
}