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題目

假定X和Y具有聯合密度函式 $f_(x,y)=c\sqrt{1-x^2-y^2}, \quad x^2+y^2\leq1$ a.計算c b.畫出聯合密度圖形 c.計算$P(X^2+ Y^2 \leq \frac12)$ d.計算X和Y的邊際密度.X和Y是獨立的隨機變數嗎？ e.計算條件密度

解題思路

a.計算c 參考《數理統計與資料分析第三版習題 第3章 第14題》的b問題，答案為 $f_{}$

XY(x,y)=∫1−x2−y2−1−x2−y234πdz=32π1−x2−y2x2+y2≤1否則為0f_{XY}(x,y)=\int_{\sqrt{1-x^2-y^2}}^{-\sqrt{1-x^2-y^2}}\frac{3}{4π}dz=\frac{3}{2π}\sqrt{1-x^2-y^2} \qquad x^2+y^2\leq1 否則為0 所以本題答案為$c=\frac{3}{2π}$ b.畫出聯合密度圖形（下圖為R模擬） 根據圖形分析就是把單位球體壓縮到xoy平面的上部了

c.計算$P(X^2+ Y^2 \leq 1)$ X,Y的聯合密度函式為： $f_{XY}(x,y)=\frac{3}{2π}\sqrt{1-x^2-y^2} \qquad x^2+y^2\leq\frac12$ 所以 $\iint_{x^2+y^2\leq\frac12}^{}\frac{3}{2π}\sqrt{1-x^2-y^2} dxdy$ 換元法，令 x=rcosθ，y=rsinθ,則上式替換成 ${\int }_{}^{}$

02πdθ∫01232π1−r2rdr\int_{0}^{2π}dθ\int_{0}^{\frac12}\frac{3}{2π}\sqrt{1-r^2} rdr 接著換元法令u=r^2,則上試替換成 $2π*\frac{3}{2π}*\frac12\int_{0}^{\frac12}\sqrt{1-t}dt=\frac{3}{2}\left[-\frac23(1-t)^{\frac32} \right]_{0}^{\frac12}=\frac{2\sqrt2-1}{2\sqrt2}$

d.計算X和Y的邊際密度.X和Y是獨立的隨機變數嗎？

計算X的邊際密度函式 $f_X(x)=\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{3}{2π}\sqrt{1-x^2-y^2}dy \qquad x^2+y^2\leq1$ 參考《數理統計與資料分析第三版習題 第3章 第14題》的a問題， 答案為:$f_X(x)=\frac34(1-x^2) \qquad -1\leq x \leq 1$ 因為球體關於三軸都是對稱的，所以$f_Y(y)=\frac34(1-y^2) \qquad -1\leq y \leq 1$

如果 $f_X(x)與f_Y(y)獨立則必須滿足 f(x,y)=f_X(x)*f_Y(y),很明顯不相等，所以兩者不獨立。\\ 直觀上由於投影為一個標準圓，x的取值明顯限制了y的取值$

e.計算條件密度

$f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\frac{\frac{3}{2π}\sqrt{1-x^2-y^2}}{\frac34(1-x^2)}=\frac{2\sqrt{1-x^2-y^2}}{π(1-x^2)}\\(與原書給出答案不一致，原書答案沒有分子中上的2，不知道是不是自己計算錯誤)$

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