數理統計與資料分析第三版習題 第3章 第22題 阿新 • • 發佈：2018-12-19 P{N(t1−t0)=k∣N(t2−t0)=n}=P{N(t1−t0)=k,N(t2−t0)=n}P{N(t2−t0)=n}=P{N(t1−t0)=k,N(t2−t1)=n−k}P{N(t2−t0)=n}=e−λ(t1−t0)⋅(λ(t−t0))kk!⋅e−λ(t2−t1)⋅(−λ(t2−t1))n−k(n−k)!⋅n!e−λ(t2−t0)⋅(λ(t2−t0))n=n!(n−k)!k!⋅(t1−t0t2−t0)k⋅(1−t1−t0t2−t0)n−k\begin{aligned} P\{N(t_1-t_0)=k|N(t_2-t_0)=n\}&=\frac{P\{N(t_1-t_0)=k,N(t_2-t_0)=n\}}{P\{N(t_2-t_0)=n\}}\\ &=\frac{P\{N(t_1-t_0)=k,N(t_2-t_1)=n-k\}}{P\{N(t_2-t_0)=n\}} \\ &=\frac{e^{-λ(t_1-t_0)}\cdot(λ(t_-t_0))^k}{k!} \cdot \frac{e^{-λ(t_2-t_1)}\cdot(-λ(t_2-t_1))^{n-k}}{(n-k)!} \cdot \frac{n!}{e^{-λ(t_2-t_0)}\cdot(λ(t_2-t_0))^n}\\ &=\frac{n!}{(n-k)!k!} \cdot (\frac{t_1-t_0}{t_2-t_0})^k \cdot (1-\frac{t_1-t_0}{t_2-t_0})^{n-k} \end{aligned}
