這裡只是一些做題時用到的數學小技巧

• 求$x^m\equiv x(mod\ p)p\in\mathbb{P}$，且$x\in[0,p-1]$的滿足條件的$x$的個數。

答案為$gcd(m-1,p-1)+1$個。

證明：

首先對於$0$所有情況都滿足，所以先加個$1$。

然後對於$x\not=0$，而且$p$為質數，所以$x$肯定有逆元，所以我們將原式變形得到$x^{m-1}\equiv1(mod\ p)$

然後因為$p$

所以原式就變成了$(g^y)^{m-1}\equiv 1(mod\ p)$，我們用尤拉定理對指數進行處理。

尤拉定理：$x^y\equiv x^{y\ mod\ \varphi(p)}(mod\ p)$

所以將指數提出，原式變成$y(m-1)\equiv 0(mod\ (p-1))$，然後由於$m,p-1$不一定互質，所以我們令$k=gcd(p-1,m-1)$，原式可以變成$y\frac{m-1}{k}\equiv 0(mod\ \frac{p-1}{k})$

• $x^m\equiv x(mod\ n)\Leftrightarrow x^m\equiv x(mod\ p_i)$，其中$n=\prod p_i$，且$p_i$為質數並都不相同。

證明：

這個相當於逆中國剩餘定理，對於原式，我們可以寫成$x^m-k_1n=x-k_2n$，那麼將$n$展開可得$x^m-k_1(\prod p_i)=x-k_2(\prod p_i)$

然後我們對於每一個$p_j$，可以寫出一個式子： $x^m-k_1(\prod p_i)\equiv x-k_2(\prod p_i)(mod\ p_j)$ 也就等價於$x^m\equiv x(mod\ p_j)$（因為減去的部分給模掉了）

加入有$c$個$p_i$，那麼我們可以的到$c$個同餘式，將其分別解出，然後中國剩餘定理合併一下，就可以得到原式的答案，所以當這些式子分別滿足時，才能滿足原式。

而當$x\in[1,n]$時，令最終答案為$ans$，假設這$c$個同餘式的每一個有$c_i$個$x$滿足，由於在範圍內最多隻會有一個$x$滿足$ans$，所以在每個同餘式中選出一個，那麼最後就會有$\prod c_i$個$x$滿足原式，所以$ans$的個數就為$\prod c_i$。

• 對於$n$個點的完全圖的生成樹有$n^{n-2}$個，有根生成樹為$n^{n-1}$個。

證明：

用矩陣樹或者prufer序列定理等證明就好啦我才不會告訴你我並不會證明╭(╯^╰)╮。

• 最大公約數的更相減損術

內容：$gcd(a,b)=gcd(a,b-a)(a\leq b)$

可用於差分求區間$gcd$詢問修改。

其它應用：高精$gcd$的簡便寫法

• $a$偶數，$b$奇數：$gcd(a,b)=gcd(\frac{a}{2},b)$
• $a$奇數，$b$偶數：$gcd(a,b)=gcd(a,\frac{b}{2})$
• $a$奇數，$b$奇數（$b\leq a$）：$gcd(a,b)=gcd(a-b,b)$
• $a$偶數，
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