首先給出方程 ax=b mod n 求解 x

即可以轉換為 ax+ny=b

可以將n看為b

則變成了

ax+by=c //a,b,c已知，求解整數解x,y

若該方程有解，則可以得出c%gcd(a,b)=0,gcd(a,b)表示a和b的最大公約數，我們這裡叫他k

這個是怎麼得到的規律呢？

因為k是a,b的公約數，所以ax+by=c可以表示為

n1*k*x+n2*k*y=b即（n1x+n2y)*k=c, 所以 c%gcd(a,b) =0

因此ax+by=c有解 等價於 c%gcd(a,b) =0

然後，如何求解gcd(a,b)呢？

有一個定理：兩個整數的最大公約數等於其中較小的那個數和兩數相除餘數的最大公約數。

gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (不妨設a>b 且r=a mod b ,r不為0)

並且由於 gcd(a,b) = gcd(- a,b) 所以我們只要考慮 a,b 都是正整數的情況。

證法一

a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆為正整數，且r<b），則r = a mod b

假設d是a,b的一個公約數，記作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。

而r = a - kb，兩邊同時除以d，r/d=a/d-kb/d=m，由等式右邊可知m為整數，因此d|r

因此d也是b,a mod b的公約數

假設d是b,a mod b的公約數, 則d|b,d|(a-k*b),k是一個整數。

進而d|a.因此d也是a,b的公約數

因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證。

證法二

第一步：令c=gcd(a,b)，則設a=mc，b=nc

第二步：可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步：根據第二步結果可知c也是r的因數

第四步：可以斷定m-kn與n互素【否則，可設m-kn=xd,n=yd,(d>1)，則m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，則a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a與b最大公約數≥cd，而非c，與前面結論矛盾】

從而可知gcd(b,r)=c，繼而gcd(a,b)=gcd(b,r)，得證

注意:兩種方法是有區別的。

Lemma 1.3.1

告訴我們當 a > b > 0 時，要求 a,b 的最大公因數我們可以先將 a 除以 b 所得餘數若為 r，則 a,b 的最大公因數等於 b 和 r 的最大公因數. 因為 r < b < a，所以當然把計算簡化了，接著我們就來看看輾轉相除法. 由於 gcd(a,b) = gcd(- a,b) 所以我們只要考慮 a,b 都是正整數的情況。

Theorem 1.3.2 (The Euclidean Algorithm)

假設 a,b 且 a > b. 由除法原理我們知存在 h0,r0 使得

a = bh0 + r0，其中 r0 < b.

歐幾里得演算法

若 r0 > 0，則存在 h1,r1 使得

b = r0h1 + r1，其中 0r1 < r0.

若 r1 > 0，則存在 h2,r2 使得

r0 = r1h2 + r2，其中 0r2 < r1.

如此繼續下去直到 rn = 0 為止

若 n = 0 （即 r0 = 0），則 gcd(a,b) = b. 若 n1=0，則 gcd(a,b) = rn - 1。

例如：24,18    24=18*1+6  a = bh0 + r0

          18   6     18=6*3+0   b = r0h1 + r1

         這裡的r1就是0，那麼最大公約數就是r0.即（18,6）中的6

Example 1.3.3

我們求 a = 481 和 b = 221 的最大公因數。

首先由除法原理得

481 221      481 = 2 . 221 + 39，知 r0 = 39.

221  39         221 = 5 . 39 + 26，知 r1 = 26，

39    26           39 = 1 . 26 + 13，知 r2 = 13。

26    13            26=13*2              知 r3 = 0，

故由 Theorem 1.3.2 知 gcd（481,221） = r2 = 13。

流程圖：

上面，告訴我們若 gcd(a,b) = d，

則存在 m,n 使得 d = ma + nb。當時我們沒有提到如何找到此 m,n，

我們利用輾轉相除法來介紹一個找到 m,n 的方法。

即，如何求解 d = ma + nb

我們沿用 Theorem 1.3.2 的符號，

看 r0 = 0 的情形，此時 d = gcd(a,b) = b 所以若令 m = 0,n = 1，則我們有 d = b = ma + nb.

當 r0 不為 0 但 r1 = 0 時，我們知 d = gcd(a,b) = r0。 故利用 a = bh0 + r0 知，若令 m = 1,n = - h0，則 d = r0 = ma + nb。

同理若 r0不為 0,r1不為 0 但 r2 = 0，則知 d = gcd(a,b) = r1。故利用 a = bh0 + r0 以及 b = r0h1 + r1 知

r1 = b - r0h1 = b - (a - bh0)h1 = - h1a + （1 + h0h1）b。因此若令 m = - h1 且 n = 1 + h0h1，則 d = r1 = ma + nb.

依照此法，當 r0,r1 和 r2 皆不為 0 時，由於 d = gcd(a,b) = rn - 1 

故由 rn - 3 = rn - 2hn - 1 + rn - 1  知 d =rn - 1= rn - 3 - hn - 1rn - 2.

利用前面推導方式我們知存在 m1,m2,n1,n2 使得 rn - 3 = m1a + n1b 且 rn - 2 = m2a + n2b

故得

d = (m1a + n1b) - hn - 1(m2a + n2b) = (m1 - hn - 1m2）a + (n1 - hn - 1n2）b.

因此若令 m = m1 - hn - 1m2 且 n = n1 - hn - 1n2，則 d = ma + nb.

上面的說明看似好像當 r0 不為0 時對每一個 i {0,1,...,n - 2} 要先將 ri 寫成 ri = mia + nib，最後才可將 d = rn - 1 寫成 ma + nb 的形式，其實這只是論證時的方便，在實際操作時我們其實是將每個 ri 寫成 mi'ri - 2 + ni'ri - 1 的形式慢慢逆推回 d = ma + nb. 、請看以下的例子.

Example 1.3.4 我們試著利用 Example 1.3.3 所得結果找到 m,n 使得 13 = gcd（481,221） = 481m + 221n.

481 221      481 = 2 . 221 + 39，知 r0 = 39.

221  39         221 = 5 . 39 + 26，知 r1 = 26，

39    26           39 = 1 . 26 + 13，知 r2 = 13。

26    13            26=13*2              知 r3 = 0，

首先我們有

13 = r2 = 39 - 26 = r0 - r1.

而 r1 = 221 - 5 . 39 = b - 5r0，

故得 13 = r0 - (b - 5r0) = 6r0 - b.

再由 r0 = 481 - 2 . 221 = a - 2b，得知 13 = 6(a - 2b) - b = 6a - 13b.

故得 m = 6 且 n = - 13 會滿足 13 = 481m + 221n。

要注意這裡找到的 m,n 並不會是唯一滿足 d = ma + nb 的一組解，雖然上面的推演過程好像會只有一組解，不過只能說是用上面的方法會得到一組解，並不能擔保可找到所有的解，

比方說若令 m' = m + b,n' = n - a，則 m'a + n'b = (m + b)a + (n - a)b = ma + nb = d.

所以 m',n' 也會是另一組解，所以以後當要探討唯一性時，若沒有充分的理由千萬不能說由前面的推導過程看出是唯一的就斷言是唯一。

一般的作法是假設你有兩組解，再利用這兩組解所共同滿足的式子找到兩者之間的關係. 我們看看以下的作法。

求解 d = ma + nb的所有解

Proposition 1.3.5 假設 a,b 且 d = gcd(a,b)。若 x = m0,y = n0 是 d = ax + by 的一組整數解，

則對任意 t,   x = m0 + bt/d,y = n0 - at/d 皆為 d = ax + by 的一組整數解，

而且 d = ax + by 的所有整數解必為 x = m0 + bt/d,y = n0 - at/d 其中 t 這樣的形式。

證 明.

假設 x = m,y = n 是 d = ax + by 的一組解，

由於已假設 x = m0,y = n0 也是一組解，

故得 am + bn = am0 + bn0.

也就是說 a(m - m0) = b(n0 - n). 由於 d = gcd(a,b），

我們可以假設 a = a'd,b = b'd 其中 a',b' 且 gcd(a',b') = 1 （參見 Corollary 1.2.3）。

因此得 a'(m - m0) = b'(n0 - n)。

利用 b'| a'(m - m0),gcd(a',b') = 1 以及 Proposition 1.2.7⑴ 得 b'| m - m0.

也就是說存在 t 使得 m - m0 = b't. 故知 m = m0 + b't = m0 + bt/d.

將 m = m0 + bt/d 代回 am + bn = am0 + bn0 可得 n = n0 - at/d，

因此得證 d = ax + by 的整數解都是 x = m0 + bt/d,y = n0 - at/d 其中 t 這樣的形式.

最後我們僅要確認對任意 t,x = m0 + bt/d,y = n0 - at/d 皆為 d = ax + by 的一組整數解，

然而將 x = m0 + bt/d,y = n0 - at/d 代入 ax + by 得 a(m0 + bt/d)+ b(n0 - at/d)= am0 + bn0 = d，故得證本定理。

利用 Proposition 1.3.5 我們就可利用 Example 1.3.4 找到 13 = 481x + 221y 的一組整數解 x = 6,y = - 13

得到 x = 6 + 17t,y = - 13 - 37t 其中 t 是 13 = 481x + 221y 所有的整數解。