動態規劃

動態規劃(dynamic programming)是運籌學的一個分支，是求解決策過程(decision process)最優化的數學方法。20世紀50年代初美國數學家R.E.Bellman等人在研究多階段決策過程(multistep decision process)的優化問題時，提出了著名的最優化原理(principle of optimality)，把多階段過程轉化為一系列單階段問題，利用各階段之間的關係，逐個求解，創立了解決這類過程優化問題的新方法——動態規劃。

https://blog.csdn.net/hebtu666/article/category/8018091基礎總結

 

狀態壓縮

我們在進行動態規劃時，有時狀態相當複雜，看上去需要很多空間，比如一個數組才能表示一個狀態，那麼就需要對狀態進行某種編碼，進行壓縮表示。

比如：狀態和某個集合有關，集合裡可以有一些元素，沒有另一些元素，那麼就可以用一個整數表示該集合，每個元素對應於一個bit，有該元素，則該bit就是1。

這個皇后問題就可以幫助理解https://blog.csdn.net/hebtu666/article/details/84631083

 

旅行商問題

 

旅行商問題(TravelingSalesmanProblem，TSP)是一個經典的組合優化問題。經典的TSP可以描述為：一個商品推銷員要去若干個城市推銷商品，該推銷員從一個城市出發，需要經過所有城市後，回到出發地。應如何選擇行進路線，以使總的行程最短

。從圖論的角度來看，該問題實質是在一個帶權完全無向圖中，找一個權值最小的Hamilton迴路。由於該問題的可行解是所有頂點的全排列，隨著頂點數的增加，會產生組合爆炸，它是一個NP完全問題。由於其在交通運輸、電路板線路設計以及物流配送等領域內有著廣泛的應用，國內外學者對其進行了大量的研究。早期的研究者使用精確演算法求解該問題，常用的方法包括：分枝定界法、線性規劃法、動態規劃法等。但是，隨著問題規模的增大，精確演算法將變得無能為力，因此，在後來的研究中，國內外學者重點使用近似演算法或啟發式演算法，主要有遺傳演算法、模擬退火法、蟻群演算法、禁忌搜尋演算法、貪婪演算法和神經網路等。

 

如圖，我們如何從0點出發，以最小代價走過所有的點？

 

分析

 

拋開這個圖，我們試想：我們可能從0點一次性走到哪些點呢？

只可能1點、2點、3點、4點（廢話）

那我們如果知道了

1）從1點開始走，經過所有的點，最後走到了0點的最小距離；a

2）從2點開始走，經過所有的點，最後走到了0點的最小距離；b

3）從3點開始走，經過所有的點，最後走到了0點的最小距離；c

4）從4點開始走，經過所有的點，最後走到了0點的最小距離；d

請再次注意：

我們可能從0點一次性走到哪些點呢？

只可能1點、2點、3點、4點（廢話）

所以我們可以從0點走到1點，再從1點經過最小距離走到0點。

2點、3點、4點同理。

那麼我們取min(a+3,b+MAX,c+4,d+MAX)即可。

3為0點走到1點的距離，4為0點走到3點的距離。

MAX代表此路不通。。

 

那我們繼續思考，abcd怎麼求呢？其實同樣的：

 

比如：求a

從1點開始走，經過所有的點，最後走到了0點的最小距離；a

同樣的思考：我們可能從1點一次性走到哪些點呢？

答：可以走到0點、2點、3點、4點。

注意：由於問題要求為：只能經過每一個頂點一次，所以我們要去掉0點，因為我們經過0點，最後再到0點就會重複，所以，

“經過所有的點”是不準確的，是除0點的所有的點。

所以只有三個點可能從1點走過去，我們需要求：

1）從2點開始走，經過除0點所有的點，最後走到了0點的最小距離x

2）從3點開始走，經過除0點所有的點，最後走到了0點的最小距離y

3）從4點開始走，經過除0點所有的點，最後走到了0點的最小距離z

然後取min(x+到2點的距離，y+到3點的距離，z+到4點的距離)

 

歸納表示式

1）我們會發現，每一次狀態轉移其實對應的是一個點的集合：

以後還會有經過除1，2點，經過除1，2，3點等等。

 

2）還有從哪個點開始走：

這兩個條件就可以描述當前的狀態。

我們把上面的總結用公式表示出來：

S為已經訪問過的點的集合

v表示當前所在點。

那麼dp[S][v]就表示為從點v出發訪問剩餘點，最終返回0點的最小長度。

我們把剛才的求解過程用公式表達出來。

∉這個符號我實在沒找到，理解意思。

 

壓縮

像這樣，狀態可以根據集合表示的DP，我們稱作狀態壓縮DP。

狀態和某個集合有關，集合裡可以有一些元素，沒有另一些元素，那麼就可以用一個整數表示該集合，每個元素對應於一個bit，有該元素，則該bit就是1。 

本題來說，所有點都在集合裡就是11111

哪個點沒在，對應的位就為0

 

注意：對於狀態不是整數而是集合的情況，通常不太容易確定DP的順序，如果確實不好想順序，可以通過記憶化搜尋來做。

集合S，如果對於任意S(i)<S(j)，那麼一定有i<j。所以確定了順序。

 

確定dp表的大小，有n個城市，從0開始編號，那麼dp表的行數就是n，列數就是2^(n-1)

int n;
int d[MAX_N][MAX_N];//鄰接矩陣
int dp[1<<MAX_N][MAX_N];

對於數字x，要看它的第i位是不是1，那麼可以通過 (x >>i) & 1取出那一位來看

先用足夠大的值初始化dp陣列，不要影響結果，然後核心程式碼：

for(int S = (1<<n)-2 ; S >= 0 ; s--)//每一個集合
{
    for(int v = 0 ; v < n ; v++)//每一個出發點
    {
        for(int u = 0 ; u < n ; u++)//訪問每一個點
        {
            if(!(S>>u&1))//判斷是否在集合中
            {
                dp[S][v] = min(dp[S][v] , dp[S | 1<<u][u]+d[v][u]);
            }
        }
    }
}

 

總結

 

當我們把狀態壓縮應用到動態規劃中，可以用來精簡狀態，節約空間，也方便轉移。

最常見的就是用二進位制來表是狀態，利用各種位移運算，就可以實現O(1)的轉移。