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這是 GAN 學習系列的第二篇文章，這篇文章將開始介紹 GAN 的起源之作，鼻祖，也就是 Ian Goodfellow 在 2014 年發表在 ICLR 的論文–Generative Adversarial Networks”，當然由於數學功底有限，所以會簡單介紹用到的數學公式和背後的基本原理，並介紹相應的優缺點。

基本原理

在[GAN學習系列] 初識GAN中，介紹了 GAN 背後的基本思想就是兩個網路彼此博弈。生成器 G 的目標是可以學習到輸入資料的分佈從而生成非常真實的圖片，而判別器 D 的目標是可以正確辨別出真實圖片和 G 生成的圖片之間的差異。正如下圖所示：

上圖給出了生成對抗網路的一個整體結構，生成器 G 和判別器 D 都是有各自的網路結構和不同的輸入，其中 G 的輸出，即生成的樣本也是 D 的輸入之一，而 D 則會為 G 提供梯度進行權重的更新。

那麼問題來了，如果 D 是一個非常好的分類器，那麼我們是否真的可以生成非常逼真的樣本來欺騙它呢？

對抗樣本

在正式介紹 GAN 的原理之前，先介紹一個概念–對抗樣本(adversarial example)，它是指經過精心計算得到的用於誤導分類器的樣本。例如下圖就是一個例子，左邊是一個熊貓，但是添加了少量隨機噪聲變成右圖後，分類器給出的預測類別卻是長臂猿，但視覺上左右兩幅圖片並沒有太大改變。

所以為什麼在簡單添加了噪聲後會誤導分類器呢？

這是因為影象分類器本質上是高維空間的一個複雜的決策邊界。當然涉及到影象分類的時候，由於是高維空間而不是簡單的兩維或者三維空間，我們無法畫出這個邊界出來。但是我們可以肯定的是，訓練完成後，分類器是無法泛化到所有資料上，除非我們的訓練集包含了分類類別的所有資料，但實際上我們做不到。而做不到泛化到所有資料的分類器，其實就會過擬合訓練集的資料，這也就是我們可以利用的一點。

我們可以給圖片新增一個非常接近於 0 的隨機噪聲，這可以通過控制噪聲的 L2 範數來實現。L2 範數可以看做是一個向量的長度，這裡有個訣竅就是圖片的畫素越多，即圖片尺寸越大，其平均 L2 範數也就越大。因此，當新增的噪聲的範數足夠低，那麼視覺上你不會覺得這張圖片有什麼不同，正如上述右邊的圖片一樣，看起來依然和左邊原始圖片一模一樣；但是，在向量空間上，新增噪聲後的圖片和原始圖片已經有很大的距離了！

為什麼會這樣呢？

因為在 L2 範數看來，對於熊貓和長臂猿的決策邊界並沒有那麼遠，添加了非常微弱的隨機噪聲的圖片可能就遠離了熊貓的決策邊界內，到達長臂猿的預測範圍內，因此欺騙了分類器。

除了這種簡單的新增隨機噪聲，還可以通過影象變形的方式，使得新影象和原始影象視覺上一樣的情況下，讓分類器得到有很高置信度的錯誤分類結果。這種過程也被稱為對抗攻擊(adversarial attack)，這種生成方式的簡單性也是給 GAN 提供瞭解釋。

生成器和判別器

現在如果將上述說的分類器設定為二值分類器，即判斷真和假，那麼根據 Ian Goodfellow 的原始論文的說法，它就是判別器 （Discriminator）。

有了判別器，那還需要有生成假樣本來欺騙判別器的網路，也就是生成器 （Generator）。這兩個網路結合起來就是生成對抗網路（GAN），根據原始論文，它的目標如下：

兩個網路的工作原理可以如下圖所示，D 的目標就是判別真實圖片和 G 生成的圖片的真假，而 G 是接收一個隨機噪聲來生成圖片，並努力欺騙 D 。

簡單來說，GAN 的基本思想就是一個最小最大定理，當兩個玩家（D 和 G）彼此競爭時（零和博弈），雙方都假設對方採取最優的步驟而自己也以最優的策略應對（最小最大策略），那麼結果就已經預先確定了，玩家無法改變它（納什均衡）。

因此，它們的損失函式，D 的是

G 的是

這裡根據它們的損失函式分析下，G 網路的訓練目標就是讓 D(G(z)) 趨近於 1，這也是讓其 loss 變小的做法；而 D 網路的訓練目標是區分真假資料，自然是**讓 D(x) 趨近於 1，而 D(G(z)) 趨近於 0 。**這就是兩個網路相互對抗，彼此博弈的過程了。

那麼，它們相互對抗的效果是怎樣的呢？在論文中 Ian Goodfellow 用下圖來描述這個過程：

上圖中，黑色曲線表示輸入資料 x 的實際分佈，綠色曲線表示的是 G 網路生成資料的分佈，我們的目標自然是希望著兩條曲線可以相互重合，也就是兩個資料分佈一致了。而藍色的曲線表示的是生成資料對應於 D 的分佈。

在 a 圖中是剛開始訓練的時候，D 的分類能力還不是最好，因此有所波動，而生成資料的分佈也自然和真實資料分佈不同，畢竟 G 網路輸入是隨機生成的噪聲；到了 b 圖的時候，D 網路的分類能力就比較好了，可以看到對於真實資料和生成資料，它是明顯可以區分出來，也就是給出的概率是不同的；

而綠色的曲線，即 G 網路的目標是學習真實資料的分佈，所以它會往藍色曲線方向移動，也就是 c 圖了，並且因為 G 和 D 是相互對抗的，當 G 網路提升，也會影響 D 網路的分辨能力。論文中，Ian Goodfellow 做出了證明，當假設 G 網路不變，訓練 D 網路，最優的情況會是：

也就是當生成資料的分佈 $p_g(x)$ 趨近於真實資料分佈 $p_{data}(x) $的時候，D 網路輸出的概率 $D_G^*(x)$ 會趨近於 0.5，也就是 d 圖的結果，這也是最終希望達到的訓練結果，這時候 G 和 D 網路也就達到一個平衡狀態。

訓練策略和演算法實現

論文給出的演算法實現過程如下所示：

這裡包含了一些訓練的技巧和方法：

1. 首先 G 和 D 是同步訓練，但兩者訓練次數不一樣，通常是 D 網路訓練 k 次後，G 訓練一次。主要原因是 GAN 剛開始訓練時候會很不穩定；
2. D 的訓練是同時輸入真實資料和生成資料來計算 loss，而不是採用交叉熵（cross entropy）分開計算。不採用 cross entropy 的原因是這會讓 D(G(z)) 變為 0，導致沒有梯度提供給 G 更新，而現在 GAN 的做法是會收斂到 0.5；
3. 實際訓練的時候，作者是採用 $-log(D(G(z)))$ 來代替 $log(1-D(G(z)))$ ，這是希望在訓練初始就可以加大梯度資訊，這是因為初始階段 D 的分類能力會遠大於 G 生成足夠真實資料的能力，但這種修改也將讓整個 GAN 不再是一個完美的零和博弈。

分析

優點

GAN 在巧妙設計了目標函式後，它就擁有以下兩個優點。

• 首先，GAN 中的 G 作為生成模型，不需要像傳統圖模型一樣，需要一個嚴格的生成資料的表示式。這就避免了當資料非常複雜的時候，複雜度過度增長導致的不可計算。
• 其次，它也不需要 inference 模型中的一些龐大計算量的求和計算。它唯一的需要的就是，一個噪音輸入，一堆無標準的真實資料，兩個可以逼近函式的網路。

缺點

雖然 GAN 避免了傳統生成模型方法的缺陷，但是在它剛出來兩年後，在 2016 年才開始逐漸有非常多和 GAN 相關的論文發表，其原因自然是初代 GAN 的缺點也是非常難解決：

• 首當其衝的缺點就是 GAN 過於自由導致訓練難以收斂以及不穩定；
• 其次，原始 G 的損失函式 $log(1-D(G(z)))$ 沒有意義，它是讓G 最小化 D 識別出自己生成的假樣本的概率，但實際上它會導致梯度消失問題，這是由於開始訓練的時候，G 生成的圖片非常糟糕，D 可以輕而易舉的識別出來，這樣 D 的訓練沒有任何損失，也就沒有有效的梯度資訊回傳給 G 去優化它自己，這就是梯度消失了；
• 最後，雖然作者意識到這個問題，在實際應用中改用 $-log(D(G(z)))$ 來代替，這相當於從最小化 D 揪出自己的概率，變成了最大化 D 抓不到自己的概率。雖然直觀上感覺是一致的，但其實並不在理論上等價，也更沒有了理論保證在這樣的替代目標函式訓練下，GAN 還會達到平衡。這個結果會導致模式奔潰問題，其實也就是[GAN學習系列] 初識GAN中提到的兩個缺陷。

當然，上述的問題在最近兩年各種 GAN 變體中逐漸得到解決方法，比如對於訓練太自由的，出現了 cGAN，即提供了一些條件資訊給 G 網路，比如類別標籤等資訊；對於 loss 問題，也出現如 WGAN 等設計新的 loss 來解決這個問題。後續會繼續介紹不同的 GAN 的變體，它們在不同方面改進原始 GAN 的問題，並且也應用在多個方面。

參考文章：

配圖來自網路和論文 Generative Adversarial Networks 中

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