問題：

物品集合s={1,2,3,4,…,n},物品i的重量為wi，其價值為vi，揹包的容量（最大載重量）為W，如何裝使物品價值最大。（物品不能分割）

分析：

p（i，j）是揹包容量為j，可選物品為i（i+1,…,n）時的最優解 （“將前i個物品放入容量為j的揹包中”轉化為只考慮物品i）

1. p（i，j）=p（i+1，j）表示沒裝入第i個物品或者第i個物品的重量wi超過揹包容量j。
2. p（i，j）=p（i+1，j-wi）+vi表示裝入物品i，價值增加vi，揹包容量變為j-wi。
3. 最後一個物品p（n，j），j大於wn，則能裝入，價值增加vn，否則不能裝入，價值增加0。

程式碼：

最優值：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define num 100//物品數量
#define num1 1000//揹包容量
int w[num];//物品重量
int v[num];//物品價值
int p[num][num1];//遞迴陣列

void value(int c,int n){//c表示揹包容量W，n是物品數量
    //邊界
    int jMax=min(w[n]-1,c);
    //先將小的不可以裝的置為0，將大於w[n]可以裝的置為v[n]   
    for(int j=0;j<=jMAx;j++){
        p[n][j]=0;
    }
    for(int j=w[n];j<=c;j++){
        p[n][j]=v[n];
    }
    //計算遞推式
    for(int i=n-1;i>1;i--){
        jMax=min(w[i]-1,c);
        for(int j=0;j<=jMax;j++){
            p[i][j]=p[i+1][j];
        }
        for(int j=w[i];j<=c;j++){
            p[i][j]=max(p[i+1][j],p[i+1][j-w[i]+v[i]);
        }
    }
    p[1][c]=p[2][c];
    if(c>=w[1]){
        p[1][c]=max(p[1][c],p[2][c-w[1]+v[1]);
    }
}
 

最優解：

//用xi=0或1表示物品i裝入或不裝入揹包
void jie(int c,int n,int x[]){
    for(int i=1;i<n;i++){
        if(p[i][c]==p[i+1][c]){
            x[i]=0;
        }
        else{
            x[i]=1;
            c=c-w[i];
        }
        x[n]=(p[n][c])?1:0;
    }
}

主函式：

int main(){
    int x[num];
    int W;
    cin>>W;
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>w[i]>>v[i];
    }
    memset(p,0,sizeof(p));
    value(W,n);
    cout<<p[1][W]<<endl;
    jie(W,n,x);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(x[i]){
            cout<<i<<endl;
        }
    }
    return 0;
}
 

測試：