【題目】

傳送門

題目描述：

小 C 最近學了很多最小生成樹的演算法，Prim 演算法、Kurskal 演算法、消圈演算法等等。 正當小 C 洋洋得意之時，小 P 又來潑小 C 冷水了。小 P 說，讓小 C 求出一個無向圖的次小生成樹，而且這個次小生成樹還得是嚴格次小的，也就是說： 如果最小生成樹選擇的邊集是 EM，嚴格次小生成樹選擇的邊集是 ES，那麼需要滿足：

$\sum_{e\in E_M}value(e)<\sum_{e\in E_S}value(e)$

其中 $value(e)$ 表示邊 $e$ 的權值。

這下小 C 蒙了，他找到了你，希望你幫他解決這個問題。

輸入格式：

第一行包含兩個整數 $n$ 和 $m$ ，表示無向圖的點數與邊數。 接下來 $m$ 行，每行 $3$ 個數 $x$ $y$ $z$ 表示，點 $x$ 和點 $y$ 之間有一條邊，邊的權值為 $z$ 。

輸出格式：

包含一行，僅一個數，表示嚴格次小生成樹的邊權和。(資料保證必定存在嚴格次小生成樹)

樣例資料：

輸入 5 6 1 2 1 1 3 2 2 4 3 3 5 4 3 4 3 4 5 6

輸出 11

備註：

【資料範圍】 資料中無向圖無自環； $50$

【分析】

次小生成樹的模板題啦

大致講一下演算法步驟吧

次小生成樹的話，和次短路的思路其實差不多

首先，肯定還是要求出最小生成樹，那麼現在就列舉不在最小生成樹上的邊，加上這條邊之後，肯定就會形成一個環，將這個環上最長的邊（除了新加的那條邊）刪掉之後，就是一個新的生成樹，在新的生成樹中選個最小的就行了

現在就考慮怎麼實現了，就是用倍增啦

在最小生成樹中，我們用 $m$

那麼假設現在要新加 $(x,y)$ 這條邊，就找 $x$ 到 $y$ 路徑上的邊權最（次）大值，直接倍增找就行了（和找 $lca$ 差不多）

找到之後，更新，統計最小值就行了，然後就做完了

【程式碼】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 100005
#define M 1000005
#define ll long long
#define inf 1ll<<60ll
using namespace std;
int n,m,t;
struct edge{int u,v,w;}e[M];
int first[N],v[M],w[M],nxt[M],vis[M];
int dep[N],father[N],fa[N][25],Max1[N][25],Max2[N][25];
bool comp(const edge &p,const edge &q)  {return p.w<q.w;}
int find(int x)  {return x==father[x]?x:father[x]=find(father[x]);}
void add(int x,int y,int z)  {nxt[++t]=first[x];first[x]=t;v[t]=y;w[t]=z;}
ll Kruskal()
{
	int i;ll ans=0;
	sort(e+1,e+m+1,comp);
	for(i=1;i<=m;++i)
	{
		int x=find(e[i].u);
		int y=find(e[i].v);
		if(x!=y)
		{
			vis[i]=1;
			father[x]=y,ans+=e[i].w;
			add(e[i].u,e[i].v,e[i].w);
			add(e[i].v,e[i].u,e[i].w);
		}
	}
	return ans;
}
void dfs(int x)
{
	int i;
	for(i=first[x];i;i=nxt[i])
	{
		if(v[i]==fa[x][0])  continue;
		fa[v[i]][0]=x,dep[v[i]]=dep[x]+1;
		Max1[v[i]][0]=w[i],Max2[v[i]][0]=0;
		dfs(v[i]);
	}
}
void init()
{
	int i,j;
	for(j=1;j<=20;++j)
	{
		for(i=1;i<=n;++i)
		{
			fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
			Max1[i][j]=max(Max1[i][j-1],Max1[fa[i][j-1]][j-1]);
			Max2[i][j]=max(Max2[i][j-1],Max2[fa[i][j-1]][j-1]);
			if(Max1[i][j-1]<Max1[fa[i][j-1]][j-1]&&Max2[i][j]<Max1[i][j-1])  Max2[i][j]=Max1[i][j-1];
			if(Max1[i][j-1]>Max1[fa[i][j-1]][j-1]&&Max2[i][j]<Max1[fa[i][j-1]][j-1])  Max2[i][j]=Max1[fa[i][j-1]][j-1];
		}
	}
}
int find(int x,int y,int limit)
{
	int i,ans=0;
	if(dep[x]<dep[y])  swap(x,y);
	for(i=20;~i;--i)
	{
		if(dep[fa[x][i]]>=dep[y])
		{
			ans=max(ans,Max1[x][i]!=limit?Max1[x][i]:Max2[x][i]);
			x=fa[x][i];
		}
	}
	if(x==y)  return ans;
	for(i=20;~i;--i)
	{
		if(fa[x][i]!=fa[y][i])
		{
			ans=max(ans,Max1[x][i]!=limit?Max1[x][i]:Max2[x][i]),x=fa[x][i];
			ans=max(ans,Max1[y][i]!=limit?Max1[y][i]:Max2[y][i]),y=fa[y][i];
		}
	}
	ans=max(ans,Max1[x][0]!=limit?Max1[x][0]:Max2[x][0]);
	ans=max(ans,Max1[y][0]!=limit?Max1[y][0]:Max2[y][0]);
	return ans;
}
ll solve(ll MST)
{
	int i;ll ans=inf;
	for(i=1;i<=m;++i)
	{
		if(!vis[i])
		{
			int temp=find(e[i].u,e[i].v,e[i].w);
			if(temp!=e[i].w)  ans=min(ans,MST-temp+e[i].w);
		}
	}
	return ans;
}
int main()
{
	int i;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<=n;++i)  father[i]=i;
	for(i=1;i<=m;++i)  scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
	ll MST=Kruskal();
	dep[1]=1,dfs(1);
	init();
	ll ans=solve(MST);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}