漸近記號、函式與執行時間

$\Theta記號$

對一個給定的函式$g(n)$，用$\Theta(g(n))$來表示一下函式的集合： $\Theta(g(n))=\{f(n):存在正常量c_1、c_2和n_0,\\ 使得對所有n\geq n_0,有0\leq c_1g(n)\leq f(n)\leq c_2g(n)\}$

若存在正常量$c_{}$

1c_1和$c_2$，使得對於足夠大的$n$，函式$f(n)$能“夾入”$c_1g(n)$與$c_2g(n)$之間，則$f(n)$屬於集合$\Theta(g(n))$。因為$\Theta(g(n))$是一個集合，所以可以記$f(n)\in \Theta(g(n))$，以指出$f(n)$是$\Theta(g(n))$的成員，作為替代，我們通常記$f(n)=\Theta(g(n))$

以表達相同的概念。

下圖給出了函式$f(n)$與$g(n)$的一幅直觀畫面，其中$f(n)=\Theta(g(n))$。對在$n_0$及其右邊$n$的所有值，$f(n)$的值位於或高於$c_1g(n)$且位於或低於$c_2g(n)$。換句話說，對所有$n\geq n_0$，函式$f(n)$在一個常量因子內等於$g(n)$。我們稱$g(n)$是$f(n)$的一個漸進緊確界。

$\Theta(g(n))$

的定義要求每個成員$f(n)\in\Theta(g(n))$均漸近非負，即當$n$足夠大時，$f(n)$非負。因此，函式$g(n)$本身必為漸近非負，否則集合$\Theta(g(n))$為空。所以我們假設用漸近記號中的函式都漸近非負。

$O$記號

$\Theta$記號漸近地給出一個函式的上界跟下界。當只有一個漸近上界時，使用$O$記號。 $\Theta(g(n))=\{f(n):存在正常量c和n_0,\\ 使得對所有n\geq n_0,有0\leq f(n)\leq cg(n)\}$

$\Omega$記號

正如$O$記號提供了一個函式的漸近上界，$\Omega$記號提供了漸近下界。 $\Omega(g(n))=\{f(n):存在正常量c和n_0,\\ 使得對所有n\geq n_0,有0\leq cg(n)\leq f(n)\}$

$o$記號

由$O$記號提供的漸近上界可能是也可能不是漸近緊確的。界$2n^2=O(n^2)$是一個漸近緊確的，但是界$2n=O(n^2)$卻不是。我們使用$o$記號來表示一個非漸近緊確的上界。

$o(g(n))=\{f(n):存在正常量c>0，存在常量n_0>0,\\ 使得對所有n\geq n_0,有0\leq f(n)<cg(n)\}$

$\omega$記號

使用$\omega$記號來表示一個非漸近緊確的下界。

$\omega(g(n))=\{f(n):存在正常量c>0，存在常量n_0>0,\\ 使得對所有n\geq n_0,有0\leq cg(n)<f(n)\}$

漸近記號的性質

傳遞性：

如：$f(n)=\Theta(g(n))\ \ \ 且\ \ \ g(n)=\Theta(h(n))\ \ \ 蘊含\ \ \ f(n)=\Theta(h(n))$

其他的也具體有此性質。 自反性：

如：$f(n)=\Theta(f(n))$

其他的也具體有此性質。 對稱性：

$f(n)=\Theta(g(n))\ \ 當且僅當\ \ g(n)=\Theta(f(n))$

轉置對稱性：

$f(n)=O(g(n))\ \ 當且僅當\ \ g(n)=\Omega(f(n)) \\ f(n)=o(g(n))\ \ 當且僅當\ \ g(n)=\omega(f(n))$

因為這些性質對漸近記號成立，所以可以在兩個函式$f$和$g$的漸近比較和兩個實數$a$和$b$的比較之間做一種類比。 $\begin{aligned} &f(n) = O(g(n))\ \ 類似於\ \ a\leq b\\ &f(n) = \Omega(g(n))\ \ 類似於\ \ a\geq b\\ &f(n) = \Theta(g(n))\ \ 類似於\ \ a=b\\ &f(n) = o(g(n))\ \ 類似於\ \ a<b\\ &f(n) = \omega(g(n))\ \ 類似於\ \ a>b\\ \end{aligned}$

相關推薦