【LOJ#6374】網格（二項式反演，容斥）
阿新 • • 發佈：2018-12-19
【LOJ#6374】網格（二項式反演，容斥）
題面
LOJ
要從\((0,0)\)走到\((T_x,T_y)\)，每次走的都是一個向量\((x,y)\)，要求\(0\le x\le M_x,0\le y\le M_y\)，並且不能不走。同時有\(k\)個限制，表示不能同時\(x=y=k_i\)，保證所有\(k_i\)都是\(G\)的倍數。求恰好跳了\(R\)步到達的方案數。
題解
如果不存在不能走的點的限制，那麼兩維可以分開考慮。比如接下來只考慮\(x\)上的問題。
因為存在步長的限制，所以設\(g(i)\)表示至少有\(i\)步超過了步長限制的方案數。
那麼可以得到：
\[g(i)={R\choose i}{T_x-i*(M_x+1)+R-1\choose R-1}\]
即將超過限制的步數直接走\(M_x+1\)步，那麼剩下隨意分配即可。
那麼答案就可以容斥得到
\[Ans=\sum_{i=0}^R (-1)^ig(i)\]
這個樣子如果是在數軸上走顯然是正確的，然而在本題中，要求了兩維不能同時不走。意味著這個算出來的\(Ans_x*Ans_y\)實際上是至多走了\(R\)步的答案。
那麼令\(g(i)\)表示至多走\(i\)步的答案，\(f(i)\)表示恰好走了\(i\)步的答案。
那麼就可以得到：\[g(R)=Ans_x*Ans_y=\sum_{i=0}^R{R\choose i}f(i)\]
二項式反演之後得到：
\[f(R)=\sum_{i=0}^R(-1)^{R-i}{R\choose i}g(i)\]
這樣子就解決了沒有額外限制的情況，時間複雜度為\(O(R^2)\)。
考慮存在額外限制的情況，設\(g(i)\)表示至少違反了\(i\)條規則的方案數，\(f(i)\)表示恰好。
那麼有\[f(0)=\sum_{i=0}^R(-1)^ig(i)\]
考慮如何計算\(g(i)\)，那麼記錄\(S(x,s)\)表示一共違反了\(x\)條規則，並且他們的步數和為\(s\)的方案數，顯然\(s=kG\)，所以只需要記錄除\(G\)後的結果。而除\(G\)後最多不會超過\(100\)。對於每個\(S(x,s)\)，顯然一共走了\(s*G\)步，所以剩下的隨意走就可以用來更新\(g\)。
也就是\[g(n)=\sum_{j}S(n,j)*Calc(T_x-j*G,T_y-j*G,M_x,M_y,R-i)*{R\choose i}\]
最後直接計算\(f(0)\)即可。
時間複雜度\(O(???)\)，分析不清了，然而跑得飛快。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
#define MAX 1100100
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
inline int read()
{
int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return t?-x:x;
}
int ans;
int Tx,Ty,Mx,My,R,G,N,NN,K,lim[55];
int jc[MAX],inv[MAX],jv[MAX];
int C(int n,int m){if(n<m||n<0||m<0)return 0;return 1ll*jc[n]*jv[m]%MOD*jv[n-m]%MOD;}
int Calc(int T,int M,int R)
{
int ret=0;
for(int i=0,d=1;i<=R;++i,d=MOD-d)
if(T+R-1-i*(M+1)>=R-1)
add(ret,1ll*d*C(R,i)%MOD*C(T+R-1-i*(M+1),R-1)%MOD);
else break;
return ret;
}
int Calc(int Tx,int Ty,int Mx,int My,int R)
{
int ans=0;
for(int i=0,d=(R&1)?MOD-1:1;i<=R;++i,d=MOD-d)
add(ans,1ll*d*C(R,i)%MOD*Calc(Tx,Mx,i)%MOD*Calc(Ty,My,i)%MOD);
return ans;
}
int S[120][120],g[120];
int main()
{
Tx=read(),Ty=read();Mx=read();My=read();R=read();G=read();
K=read();N=max(Tx,Ty)+R;NN=min(Tx,Ty)/G;
for(int i=1;i<=K;++i)lim[i]=read()/G;
sort(&lim[1],&lim[K+1]);K=unique(&lim[1],&lim[K+1])-lim-1;
jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=1;
for(int i=1;i<=N;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
for(int i=2;i<=N;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
for(int i=1;i<=N;++i)jv[i]=1ll*jv[i-1]*inv[i]%MOD;
S[0][0]=1;
for(int i=1;i<=R&&i<=NN;++i)
for(int k=1;k<=K;++k)
for(int j=0;j+lim[k]<=NN;++j)
add(S[i][j+lim[k]],S[i-1][j]);
for(int i=0;i<=R&&i<=NN;++i)
for(int j=0;j<=NN;++j)
if(S[i][j])add(g[i],1ll*S[i][j]*Calc(Tx-j*G,Ty-j*G,Mx,My,R-i)%MOD*C(R,i)%MOD);
for(int i=0,d=1;i<=R&&i<=NN;++i,d=MOD-d)add(ans,1ll*d*g[i]%MOD);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}