2.2 2D投影平面

  眾所周知，平面中的一個點可以用$\mathcal{\rm IR}^2$中的座標對$(x,y)$表示。 因此，通常用$\mathcal{\rm IR}^2$識別平面。 將$\mathcal{\rm IR}^2$視為向量空間，座標對$(x,y)$是向量 - 將點標識為向量。 在本節中，我們將介紹平面上點和線的齊次座標表示方法。

行向量和列向量

  我們考慮向量空間之間的線性對映，並將這些對映表示為矩陣。

  通常情況下，矩陣和向量的乘積是另一個向量，這個像被我們稱為對映下的像。

相信大家應該線上性代數學過像與原像的概念

  這引出了“列”和“行”向量之間的區別，因為矩陣可以在右側乘以列向量而在左側乘以行向量。

  例如：

$\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} c \\ d \end{matrix} \right]$

$\left[ \begin{matrix} c & d \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d\end{matrix} \right]$

  預設情況下，幾何實體將由列向量表示。 諸如 $\rm x$ 的粗體符號總是表示列向量，並且其轉置是行向量$\rm x^T$。 根據慣例，平面中的點將由列向量$(x,y)^{\rm T}$表示，而不是其轉置，行向量$(x,y)$。 我們記${\rm x} = (x,y)^{\rm T}$，該等式的兩邊代表列向量。

點和線

線的齊次表示

  平面中的線由諸如$ax+by+c=0$的等式表示，$a$，$b$和$c$的不同選擇產生不同的線。因此，線可以自然地由向量$(a,b,c$

  線和向量$(a,b,c)^{\rm T}$之間的對應關係不是一對一的，因為對於任何非零常數$k$,線$ax+by+c=0$和$(ka)x+(kb)y+(kc)=0$是同一條直線。 因此對於任何非零$k$，向量$(a,b,c)^{\rm T}$和$k(a,b,c)^{\rm T}$表示相同的線。

  實際上，通過整體縮放相關的兩個這樣的向量被認為是等價的。 在這種等價關係下的等價類向量被稱為齊次向量。 任何特定的向量$(a,b,c)^{\rm T}$都是等價類的代表。$\mathcal{\rm IR}^3$中的向量等價類集合 - $(0,0,0)^{\rm T}$形成投影空間$\mathcal{\rm IP}^2$。 符號-$(0,0,0)^{\rm T}$表示排除了與任何行不對應的向量(也就是沒有一條直線可以通過這個向量表示)。

點的齊次表示

  當且僅當$ax+by+c=0$時，我們可以說，點${\rm x} = (x,y)^{\rm T}$位於線${\rm l}=(a,b,c)^{\rm T}$上。這可以用表示向量的內積來表示點，即$(x,y,1)(a,b,c)^{\rm T}=(x,y,z) {\rm l}=0$; 也就是說，$\mathcal{\rm IR}^2$中的點$(x,y)^{\rm T}$通過加最後一維座標為1從而表示為三維向量。

  注意，對於任何非零常數$k$和線$\rm l$，等式$(kx,ky,k){\rm l}=0$當且僅當$(x,y,z) {\rm l}=0$時，因此，考慮k的變化值的向量集$(kx,ky,k)^{\rm T}$是在$\mathcal{\rm IR}^2$中的點$(x,y)^{\rm T}$的表示。

  因此，正如線一樣，點也可以由齊次矢量表示。

  表示點的任意齊次向量具有${\rm x}=(x_1,x_2,x_3)^{\rm T}$的形式，表示在${\rm IR}^2$中的點$(x_1/x_3,x_2/x_3)^{\rm T}$。

   因此，作為齊次向量的點也是$\rm IP^2$的元素。

  一個有一個簡單的方程來確定一個點何時在一條線上，即

結論1  點$\rm x$在直線$\rm l$上當且僅當$\rm x^Tl=0$

  值得注意的是$\rm x^Tl$是兩個向量$\rm x$和$\rm l$的內積或標量積，即$\rm x^Tl=l^Tx=x\cdot l$。

  一般我們更喜歡$\rm l^Tx$,偶爾也會用$\cdot$去表示內積。

  要注意，我們把${\rm x}=(x_1,x_2,x_3)^{\rm T}$稱為點的齊次座標，這是三維向量。把$(x,y)^{\rm T}$稱為非齊次座標，這是二維向量。

自由度

  為指定一個點，我們必須提供兩個值，就是它的$x-$座標和$y-$座標。那麼對於直線呢？這裡一條直線，也是由兩個引數指定（兩個獨立的比率$\{a:b:c\}$），因而有兩個自由度。

  有人疑惑道，這不是三個未知的引數麼，怎麼會說是兩個自由度。這裡，我們可以把c看成是已知量，即為1。考慮到前面說的齊次座標的等價性。我們可以把表示直線的$(a,b,c)^{\rm T}$化成等價的齊次座標表達$(a/c,b/c,1)^{\rm T}$，這裡值得注意的是其中$c$不等於0才會成立。當然了，我們這裡是取$c$不等於0為例子。前面的意思是這兩個獨立的比率是兩兩之間的，只要存在兩個比率，就能確保出$a,b,c$三個數字，這兩個比率就是自由