一、相關概念

1.1  機器數與真值

　　·機器數  計算機中儲存的資料都是帶符號的二進位制數，例如：5 → 0000 0101 ， -5 → 1000 0101  此類數值稱之為機器數。

　　·真值　  為區別起見，將帶符號位的機器數對應的真正數值稱為機器數的真值。如：1000 0101的形式值為133，但它實際表示的值為-5，-5稱之為真值。

1.2  原、反、補碼

　　·原碼  符號位加上真值的絕對值。如+5和-5的原碼分別為：0000 0101和1000 0101

　　·反碼  正數的反碼是它本身，負數的反碼是將它原碼的符號位不變，其餘各位按位取反。  如+5和-5的反碼分別為：0000 0101和1111 1010

　　·補碼  正數的補碼是它本身，負數的補碼是將它原碼的符號位不變，其餘各位按位取反再加1（其實就是反碼+1）。如+5和-5分補碼分別為：0000 0101和1111 1011

二、為何要用原、反、補碼

2.1  符號位的問題

　　我們已知正數的原、反、補碼都是相同的，但對於負數來說確是完全不同。在處理加減乘除等運算時，若是人腦來進行，我們可以將符號位抽象出來然後直接操作真值即可。但若交由計算機完成，若還需提前去識別符號位，則會大大增加計算機基礎電路的複雜度，故需要考慮帶著符號位進行計算。

考慮一個1-1的問題：

·原碼計算：1-1 = 1+（-1）= [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [1000 0010]原 =-2   結果顯然不對

·反碼計算：1-1 = 1+（-1）

　　　　　　  = [0000 0001]原 + [1000 0001]原

　　　　　　  = [0000 0001]反 + [1111 1110]反

　　　　　　  = [1111 1111]反

　　　　　　  = [1000 0000]原 = -0

　　從結果來看，真值部分是對的，但0前面出現負號是無意義的。反而會引入1000 0000的機器碼錶示數值0，從而與0000 0000表示的0引起衝突，故而補碼碼應運而生。

·補碼計算：1-1 = 1+（-1）

　　　　　　  = [0000 0001]原 + [1000 0001]原

　　　　　　  = [0000 0001]補 + [1111 1111]補

　　　　　　  = [0000 0000]補

　　　　　　  = [0000 0000]原 = 0

　　可見，使用補碼運算解決了符號位帶入的問題和0的符號問題。值得注意的是，在補碼的運算結果中，[1000 0000]補 代表的數值為-128，但由於該補碼使用的是之前-0的原碼，故-128是沒有原碼和反碼錶示的。有此也可以引申出，8位二進位制值的原碼或反碼的表示範圍為[-127,127]，而補碼的則為[-128,127]。

2.2  總結

　　·數位電路的CPU中僅實現了加法器，為實現減法器，減法都是通過轉換為加法進行計算的。

　　·負數在計算機中是以補碼的形式儲存的，計算過程也是用補碼實現的。

三、反碼與取反

　　初學時容易將兩個概念混淆，前面已經提到，計算機中資料的儲存和計算都是以補碼的形式進行的。故取反這一過程也是圍繞補碼展開的，與反碼這一概念並無關係。

看一個+5和-5取反的過程：

　　+5 = [0000 0101]原 → [0000 0101]補 →按位取反→ [1111 1010]補 → [1000 0110]原 = -6

　　-5 = [1000 0101]原 → [1111 1011]補 →按位取反→ [0000 0100]補 → [0000 0100]原 = 4

可見，對一個數取反都是先求得該數的補碼，對補碼進行按位取反，然後對結果再求補碼即可。快速計算方法：對數a取反，結果為-（a+1）。