很多剛剛接觸SLAM的小夥伴在看到李群和李代數這部分的時候，都有點濛濛噠，感覺突然到了另外一個世界，很多都不自覺的跳過了，但是這裡必須強調一點，這部分在後續SLAM的學習中其實是非常重要的基礎，不信你看看大神們的論文就知道啦。

  關於李群李代數，其實高翔的《視覺SLAM十四講》裡推導什麼的挺清楚了，本文就在高博的基礎上用比較容易理解的語言講述一下重點。

  首先，假裝（也可能是真的）自己是個小白，我們假想對面坐了一個大牛師兄，下面我們開啟問答模式。

為啥需要李代數？

  小白：師兄，我最近在學習SLAM，看到李群、李代數這一塊一直看不懂，不知所云啊，師兄能不能用通俗易懂的方式給我講解一下？

  師兄：好啊，正好這會有空，講完正好去吃飯。

  小白：我請師兄吃燒烤！

  師兄：哈哈，那我必須給你講明白啦！現在開始吧。

  小白：好，先問下師兄，我在看高博的書，前面幾章挺順利的，第四章突然跳出來李群和李代數，一堆公式推導，看的我頭都大了。

  師兄：這部分公式是有點多，不過李群李代數是為了解決SLAM中非常實際的問題的。到後面會用到的。

  小白：看來逃不過啊。。。

  師兄：是的，這部分必須理解的啊。剛才說到了解決SLAM中實際問題，我展開說下。我們知道SLAM的過程就是不斷的估計相機的位姿和建立地圖。其中，相機位姿也就是我們所說的變換矩陣T。

  師兄：對~下面舉個例子說明。比如你拿著相機一邊移動一邊拍，假設某個時刻相機的位姿是T，它觀察到一個在世界座標系中的一個空間點p，並在相機上產生了一個觀測資料z，那麼

$z = Tp + noise$

  noise是觀測噪聲。那麼觀測誤差就是

$e = z - Tp$

  小白：嗯，我 知道，我們的目的就是使得誤差最小咯~

  師兄：對的，假設我們總共有N個這樣的三維點p和觀測值z，那麼我們的目標就是尋找一個最佳的位姿T，使得整體誤差最小化，也就是

  求解此問題，就是求目標函式J對於變換矩陣T的導數。

  小白：嗯，對矩陣求導？第一次 聽說啊。。

  師兄：聽起來確實有點怪。我們先來看看變換矩陣T，我們知道T所在的SE(3)空間，對加法計算並不封閉，也就是說任意兩個變換矩陣相加後並不是一個變換矩陣，這主要是因為旋轉矩陣對加法是不封閉造成的，它是有約束的。

  小白：旋轉矩陣對加法不封閉啥意思？

  師兄：嗯，這個我一會會細講，這裡你先記住好了。到後面你就知道了

  小白：好的，那剛才的問題怎麼解決呢？

  師兄：這個問題問的好，李代數就是解決這個問題的。我們把大寫SE(3)空間的T對映為一種叫做李代數的東西，對映後的李代數我們叫做小se(3)好了。它是由向量組成的，我們知道向量是對加法封閉的。這樣我們就可以通過對李代數求導來間接的對變換矩陣求導了。

  小白：原來如此啊！不過剛才說了那麼多概念，都是什麼意思啊？

李群怎麼理解？

  師兄：不急，我一個個說。我先說說李群吧，額，不，先說說群吧。按照數學上定義：群（group）就是一種集合加上一種運算的代數結構。群有幾個運算性質，好像高博說是“鳳姐咬你”

  小白：（瞪大了眼睛）嗯？

  師兄：哦，諧音諧音。。。就是：封閉性，結合律，么元，還有逆。對了，比如旋轉矩陣和乘法就構成了旋轉矩陣群，變換矩陣和乘法也構成了變換矩陣群。對了，你說，旋轉矩陣和加法能構成群嗎？

  小白：額。。剛才好像說不行吧？

  師兄：嗯，不行的 ，他們不滿足封閉性。剛才沒有細講，下面仔細解釋原因。我們知道旋轉矩陣R本身有一定的約束：

  兩個旋轉矩陣R1+R2的結果就不能滿足上述約束了，但是R1R2滿足。此外，旋轉矩陣還滿足結合律：R1R2=R2*R1，還有么元是單位矩陣I，也有逆矩陣滿足R乘以R的逆等於么元（單位陣）。還有，我們在SLAM裡最常說的有兩個，一個是特殊正交群SO(3)，也就是旋轉矩陣群，還有特殊歐氏群SE(3)，也就是變換矩陣群，3代表是三維的。

  小白：嗯嗯，書上看了，我差不多理解群是個什麼東東了，那李群呢？

  師兄：李群的定義是指連續光滑的群，比如我們前面說的旋轉矩陣群SO(3)，你想象你拿個杯子就可以在空間中以某個支點連續的旋轉它，所以SO(3)它就是李群。如果你一般旋轉一邊移動它，也是連續的或者說光滑的運動，所以變換矩陣群SE(3)也是李群。

李代數是李群的親戚嗎？

  小白：嗯，師兄，那李代數呢，它和李群都姓李，他們什麼關係？

  師兄：（一臉黑線）我個人的理解是這樣的，就是我們相機在三維空間中是連續的旋轉或者變換的嘛，剛才說過，而我們SLAM目的就是優化求解相機的這個最佳的位姿T（變換矩陣），優化方法一般都採用迭代優化的方法，每次迭代都更新一個位姿的增量delta，使得目標函式最小。這個delta就是通過誤差函式對T微分得到的。也就是說我們需要對變換矩陣T求微分（導數），我們先以SO(3)空間中的旋轉矩陣 R為例來說說吧，你覺得如何對R求微分呢？

  小白：矩陣怎麼求。。求微分，這個能微分嗎？以前沒有學過啊

  師兄：可以的，李群和李代數都姓李（笑），你還別說，他們之間的確存在某種微分關係。我們先把結論放這裡：李代數對應李群的正切空間，它描述了李群區域性的導數。

  小白：也就是說，李代數對應了李群的導數？

  師兄：可以這麼理解，你可以去看一下十四講中65-66頁那部分的推導，我們只關注兩個結論就行了

  第一個結論：

  看下面的公式，我們發現旋轉矩陣的微分是一個反對稱(也叫斜對稱)矩陣左乘它本身，也印證了我前面說的，矩陣是可以微分的。對於某個時刻的R(t)（李群空間），存在一個三維向量φ=（φ1，φ2，φ3）（李代數空間），用來描述R在t時刻的區域性的導數。

反對稱矩陣是啥？

  小白：等一下，師兄，反對稱矩陣是啥？第一次聽說啊

  師兄：哦哦，忘記解釋了。反對稱矩陣英文是skew symmetric matrix，有的地方也翻譯為斜對稱矩陣，其實是一個東西。

  小白：這個反對稱矩陣是啥意思？

  師兄：反對稱矩陣其實是將三維向量和三維矩陣建立對應關係。它是這樣定義的：如果一個3 X 3的矩陣A滿足如下式子

  那麼A就是反對稱矩陣。你看左邊有個轉置，右邊有個負號，叫反對稱矩陣，還是挺形象的。

  小白：額，好像有點明白，不過這個有啥用啊？

  師兄：先別急，先問你一個問題，你覺得反對稱矩陣它的元素有什麼特點？

  小白：啊。。特點啊，我想想（一分鐘過去了。。）

  師兄：根據它的性質，先想想對角線元素。你看，上式等式左邊矩陣A轉置後，對角線元素aii是不是還在對角線上？

  小白：對哦，師兄好厲害

  師兄：額。。別打岔，等式右邊，所有元素取負號，那麼對於對角線元素aii來說，是不是滿足aii=-aii？

  小白：是哦，所以aii=0，也就是說反對稱矩陣對角線元素都為0？

  師兄：bingo！確實是這樣。那麼非對角線元素還有6個，它們能不能精簡呢？

  小白：我想想，感覺好像是有重複的，好像可以用更少的元素來表示

  師兄：沒錯！我舉個例子，等式左邊第2行第1列位置的元素，是矩陣A元素a12轉置後到了位置a21，等式右邊原來a21變成了 -a21，所以其實對於矩陣A，元素a12 = -a21，所以用一個元素及其負數就可以表示矩陣中這兩個元素，同理，其他4個元素也是這樣。所以，其實矩陣A中非對角線元素只用3個元素就可以表示。也就是說反對稱矩陣A只有3個自由度。

  小白：嗯呢，師兄好厲害！不過。。。知道這些有啥用啊？

  師兄：這個反對稱矩陣只有3個自由度很重要啊，這樣我們就可以把一個三維向量和一個三維矩陣建立對應關係。

  小白：師兄，感覺還是很抽象啊

  師兄：哦哦，那我舉個栗子給你看看。我們假設有一個反對稱矩陣A的定義如下：

  小白：等下，我看看是否滿足性質：該矩陣的轉置等於該矩陣元素取負數。。

  師兄：你看是不是我們前面推算的一致啊，對角線元素為0，只有3個自由度？

  小白：是哦，確實沒錯！師兄繼續。。

  師兄：我們定義對應的一個三維向量：

  然後我們用一個上三角符號來表示這個向量α和三維矩陣A的對應關係

  小白：這個符號感覺很神奇啊

  師兄：是的，通過這個符號，我們把向量和矩陣建立了對應關係。這個在後面非常重要。你再看看前面的第一個結論

  就好理解很多了。

  小白：嗯嗯。確實是呢。師兄繼續下一個結論吧。

指數對映

  師兄：好 ，下面說說第二個結論。通過高博一系列辛苦的 計算（笑），我們最終得到下面式子，它的前提是R在原點附近的一階泰勒展開，我們看到這個向量φ=（φ1，φ2，φ3）反應了R的導數性質，故稱它在SO(3)上的原點 φ0 附近的正切空間上。這個φ正是李群大SO(3)對應的李代數小so(3)。

  小白：好暈啊。。

  師兄：你這麼理解吧，李代數小so(3)是三維向量φ的集合，每個向量φi的反對稱矩陣都可以表達李群(大SO(3))上旋轉矩陣R的導數，而R和φ是一個指數對映關係。也就是說，李群空間的任意一個旋轉矩陣R都可以用李代數空間的一個向量的反對稱矩陣指數來近似。

  小白：好繞的繞口令啊。。

  師兄：沒事，你只要記得用旋轉矩陣表示的話就是李群空間，也是我們熟悉的表示方法。而用向量的反對稱矩陣表示的話就是李代數空間，這兩個空間建立了聯絡。

  小白：師兄，那這個古怪的式子

如何計算呢？

  師兄：嗯，這個用大一學的微積分就行。

  小白：微積分忘的差不多了。。。

  師兄：沒事，其實就只用到指數e的泰勒展開

  小白：師兄，書上的推導好麻煩啊

  師兄：先不管具體推導過程，我們先來看看結論，你說的那個指數形式的古怪的式子通過運用泰勒展開，以及反對稱矩陣的性質，我們可以得到如下結果：

  其中：三維向量 φ = θa，a是一個長度為1的方向向量。看到這個式子有沒有覺得很神奇？

  小白：好像在哪裡見過啊

  師兄：嗯，這個式子和羅德里格斯公式長的一模一樣

  小白：忘了什麼是羅德里格斯公式了。。。

  師兄：你還記得旋轉的表示方法嗎？有旋轉矩陣、旋轉向量、尤拉角、四元數，而羅德里格斯公式是表示從旋轉向量到旋轉矩陣的轉換過程的

  小白：師兄這麼一說，我想起來了，旋轉向量也有一個旋轉角θ，旋轉軸也是單位方向向量

  師兄：其實旋轉向量就是這裡的李代數

  小白：啊？這怎麼會扯上關係？

  師兄：你可能有點反應不過來，不過的確小so(3)的李代數空間就是由旋轉向量組成的的空間，其物體意義就是旋轉向量。而前面結論二中的指數對映關係就是羅德里格斯公式，他們在數學上本質是一樣的

  小白：真的好神奇啊

  師兄：嗯，這樣我們可以說旋轉矩陣的導數可以由其對應的旋轉向量指定，指導如何在旋轉矩陣中進行微積分運算。

  小白：這樣就好理解多了

李群李代數之間的指數對數對映關係

  師兄：嗯，反過來，用對數對映也能把大SO(3)李群空間中元素對映到小so(3)李代數空間中去。前面我們都是講的SO(3)上的對映關係，放到SE(3)上推導類似，也是泰勒展開，旋轉矩陣R對映結果和SO(3)一樣，平移部分指數對映後會有稍許的不同，它前面多了一個係數矩陣，這些都可以自己證明一下（留作作業）。

  小白：嗯嗯，師兄，是不是隻要記住高博大神書上的對應關係圖就行啦？

  師兄：這個圖要理解透徹

  小白：對了，師兄，好像還有一個左擾動，右擾動什麼的，這個是幹什麼用的呀

  師兄：這個是用李代數解決求導問題時使用的方法。對了，李代數是對加法封閉的嗎？

  小白：嗯，李代數是由向量組成的，向量對加法運算是封閉的。

  師兄：嗯，學的真快！你說的沒錯。李代數求導分兩種：一種是用李代數表示位姿，然後根據李代數加法來對李代數求導。這種方法書中也推導了，結果中有複雜的雅克比公式，不是很方便。一般都用第二種，就是對李群進行左乘或者右乘微小的擾動，然後對該擾動求導。書上高博也推導了，你看結果還是挺簡潔的。

  小白：那我們就用擾動模型好啦

  師兄：確實實際SLAM問題中，擾動模型比較實用方便。擾動模型的推導一定要自己推一遍哦

  小白：嗯，我儘量。。謝謝師兄耐心解答，走，請你吃燒烤去。

李代數推導

  李群李代數部分有不少推導，其中最難理解的3個推導是SO(3)左擾動模型，SO(3)李代數求導，SE(3)左擾動模型，見下面視訊： 李群李代數推導