經典圖割演算法中圖的構建及實現之one-cut-1

本文目的：

講解目前典型的3種圖割演算法：graph-cut、grab-but、one-cut。本文主要講解one-cut的方法在應用時，準則函式與圖構建關係，如何構建圖，以及如何程式碼實現圖的構建。圖割的原理網上文章和論文已介紹比較詳細，不再詳細介紹。One-cut的人工干預影象分割演算法有2種形式：人工設定正負種子點(graph-cut的方式)；人工設定背景區(grab-cut畫框的方式)

• one-cut思想

one-cut最主要的改進在於將原始圖割的先驗懲罰項進行了修改。使用全圖的前景與背景直方圖的L1距離表示先驗懲罰項。作者表示該修改能提升效能，並且解決了grab-cut的畫框方式中NP難的問題。在grab-cut中需要用EM演算法迭代，其不一定能求解到全域性最優解，而one-cut可以直接求解到準則函式的最優解。該篇文章介紹選擇正負種子點的one-cut演算法，設定背景區方式(bounding-box)的one-cut在下一篇介紹。

• 準則函式

準則函式如上，相比graph-cut，先驗項有所不同。此處直接使用直方圖的L1距離為懲罰項。作者的論文中有相關相應的對比實驗，說明該方法的優勢。

       我們可以看到有如下關係成立：

       K表示直方圖bin數量，表示正負類各自在直方圖第K個bin中的數量，為全集。

• 圖的建立

1.術語：

1. 與S和T連結的邊叫t-link(紅線與綠線)，領域之間的連結邊叫n-link(黑線)，與輔節點相連的a-link(黃線)。其中紅線進一步稱為s-t-link，綠線進一步稱為t-t-link，僅有種子點(紅色為正種子點、綠色為負種子點)才存在t-link。
2. 黃色點表示的是輔節點，該節點的用處是構造R(A)項，有多少個直方圖Bin就有多少個輔節點。屬於同一bin的畫素點連線向同一個輔節點。
3. 黑線的權值對應的是B(A)項，黃線的權值對應的是R(A)項，而紅線和綠線對應的種子點硬約束項。
4. 權值用w表示。
5. 藍色節點表示類別標誌節點，S表示正類類標節點，T表示負類類標節點。

       最終通過求最小割之後，與節點S相連的所有紅色、白色節點(影象畫素點)屬於一類，同理與節點T相連的所有綠色、白色節點屬於另一類。兩類被最小割割開，割值即是準則函式值。

2.圖的建立

       拿到待分割的影象後，圖的節點與邊已確定，即圖的形狀已確定下來。僅僅需要做的就是給圖中所有邊賦相應的權值，如下圖所示。

       圖中的邊有3種情況：種子點的t-link；每個畫素點對應的a-link；畫素領域關係的n-link。接下來將說明每一種邊的權值取值。

1).種子點t-link權值：種子點認為是硬約束，其使用者預設2類種子點後，種子點類別不會隨分割演算法而改變。

a.對於正類別種子點，s-t-link必須保留，t-t-link必須割去。工程中，通過將s-t-link權值設定為超級大值，t-t-link設定為0。保證一定僅僅割去t-t-link，否則一定不是最小割，因為當前w(s-t-link)權值是超級大值，割去這條邊的代價一定是最大的。

b.反之同理。

2).a-link權值：原始影象確定後其顏色直方圖即確定。將所有畫素點按照其顏色值所屬建立與對應顏色Bin節點的連線。為撒該節點的權值對應R(A)項，請各位讀者自己任意取一個分割看看，其中常數項 直接去掉，因為其不影響最值。

3).n-link權值：n-link用於度量相鄰畫素點之間顏色的差異性。設一對相鄰點Pi，Pj，則n-link(Pi-Pj)的權值w等於：

         其中，dist()是距離函式，表示點之間的影象距離。即4領域下，所以領域點距離均為1；8領域下，對角畫素點距離為 ；在5*5領域下，對角畫素點距離為 。

         設種子點的超級大值是1000， =1，K=4(灰度空間0-255被分割成4個Bin)， ， 。影象是3*2的灰度圖，數字表示灰度值，紅色和藍色節點表示使用者選擇的正負種子點。

圖3 圖的建立

       如上圖所示，將所有邊的權值賦值後，圖就建立完畢。剩餘則直接運用最小割演算法即可求解。最小割演算法有很多，包括graph-cut作者提出的快速演算法An Experimental Comparison of Min-Cut/Max-Flow Algorithms for Energy Minimization in Vision。Opencv即採用該演算法計算最小割。