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實變函式筆記-外測度,可測集,可測函式

【參考資料】 【1】《實變函式與泛函分析基礎》 【2】《陶澤軒實分析》 【3】《實變函式與泛函分析》

外測度

定義: 設E為RnR^n中任一點集,對於每一列覆蓋E的開區間i=1IiE\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}I_i \subset E,作出它的體積總和u=i=1Iiu=\sum\limits_{i=1}^{\infty}|I_i|,所有一切u組成一個下方有界的數集,它的下确界稱為E的勒貝格外側度,簡稱L外側度,記作mEm^*E,即:

mE=infEi=1Iii=1Iim^*E = \inf\limits_{E \subset \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}I_i }\sum\limits_{i=1}^{\infty}|I_i|

外側度具備三條基本性質:

(1) mE0m^*E \ge 0,當E是空集時,mE=0m^*E=0 (2) 設ABA \subset B,則mAmBm^*A \le m^*B (單調性) (3) m(i=1Ai)i=1mAim^*(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i) \le \sum\limits_{i=1}^{\infty}m^*A_i(次可數可加性)

給出(3)的證明如下:

  1. 對每一個AiA_i
    構造其對應的外側度,即存在對應的開區間In,1,In,2,,In,mI_{n,1}, I_{n, 2}, \dots, I_{n,m}使得Anm=1In,mA_n \subset \bigcup\limits_{m=1}^{\infty}I_{n,m},同時滿足如下要求: m=1In,mmAn+ϵ2n\sum\limits_{m=1}^{\infty}|I_{n,m}| \le m^*A_n + \dfrac{\epsilon}{2^n}
  2. 對所有的A取交集,我們得到
    n=1Ann,m=1In,m\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n \subset \bigcup\limits_{n,m=1}^{\infty}I_{n,m}
    由外側度的單調性可知 m(n=1An)n,m=1In,mm^*(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n) \le \sum\limits_{n,m=1}^{\infty}|I_{n,m}|
  3. 分析I組成開集的外測度 n,m=1In,m=n=1m=1In,mn=1(mAn+ϵ2n)\sum\limits_{n,m=1}^{\infty}|I_{n,m}|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}|I_{n,m}| \le \sum\limits_{n=1}^{\infty}(m^*A_n + \dfrac{\epsilon}{2^n})

=n=1mAn+n=1ϵ2n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}m^*A_n + \sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\epsilon}{2^n} 由於n=112n\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^n}收斂於1 =n=1mAn+ϵ=\sum\limits_{n=1}^{\infty}m^*A_n + \epsilon

可測集

由於外側度不具備可數可加性,因此我們要給出一種集合,使得在這種集合裡存在m(i=1Ai)=i=1mAim^*(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty}m^*A_i

定義: 設ERnE \subset R^n,若對任意TRnT \subset R^n,有 m(T)=m(TE)+m(TEc)m^*(T) = m^*(T \cap E) + m^*(T \cap E^c),則稱E是勒貝格可測集。可測集的全體記作m,稱為RnR^n的可測集類。

於是我們重新描述可數可加性如下:

EjM,j=1,2,....E_j \in M, j=1,2,....,這裡M指可測集類,則n=1EjM\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}E_j \in M,若還有EiEj=ijE_i \cap E_j = \emptyset \quad i \ne j,則有m(j=1Ej)=j=1m(Ej)m(\bigcup\limits_{j=1}^{\infty}E_j)=\sum\limits_{j=1}^{\infty}m(E_j)