【參考資料】
【1】《實變函式與泛函分析基礎》
【2】陶哲軒 《實分析》

非負簡單函式

定義: 設f(x)的定義域E可分為有限個互不相交的可測集 $E_1,E_2,$

. . . , E s E_1, E_2, ... , E_s ,有 $E$

= ⋃ i = 1 s E i

E = \bigcup\limits_{i=1}^{s}E_i ,使f(x)在每個 $E_i$上都等於某常數 $c_i$，則稱f(x)為簡單函式。

定義: 設 $E \subseteq R^q$為可測集， $\phi(x)$為E上的一個非負簡單函式，即E為有限個互不相交的可測集 $E_1, E_2, ... , E_s$之並，則有: $\phi(x) = \sum\limits_{i=1}^{k}c_i X_{E_i}(x)$, $X_{E_i}(x)$是 $E_i$上的特徵函式。

舉例:

$D(x) = \begin{cases} 1, & x \in Q \\ 0, & x \in Q^c \end{cases}$
則 $\int_{R}D(x)dx = 1 \cdot mQ + 0 \cdot mQ^c = 1 \cdot 0 + 0 \cdot +\infty = 0$

非負可測函式

定義: 設 $E \subseteq R^q$為可測集,f(x)是E上的一個非負可測函式，f(x)在E上的勒貝格積分定義為 $\int_Ef(x)dx = sup \{\int_E \phi(x)dx:$ $\phi(x)$是E上的非負簡單函式，且 $x \in E ,0 \le \phi(x) \le f(x)\}$

即對非負函式而言，其積分是小於它的簡單函式的積分取最大值。

一般可測函式

定義: 設 $E \subseteq R^q$為可測集，f(x)為E上的可測函式，定義它的正部和負部如下：
$f^+(x)=max(f(x),0)$和 $f^-(x)=-min(f(x),0)$
可知 $f^+$和 $f^-$都是非負可測函式，同時有：
$f = f^+ - f^-$以及 $|f|=f^+ + f^-$
若 $f^+$或 $f^-$有一個有限，則稱f在E上積分確定，即f在E上的勒貝格積分為 $\int_E f^+(x)dx - \int_E f^-(x)dx$

備註: 在非負可測函式和一般可測函式的勒貝格積分章節，並不討論具體積分的求值，而是探討其積分具備的公理，如線性、可數可加性等等，本次不作贅述。

與黎曼積分的比較

定理: 設f(x)在[a, b]上的一個有界函式，若f(x)在[a,b]上R可積，則f(x)在[a, b]上L可積，且:
$(L)\int_{[a,b]}f(x)dx = (R)\int_a^bf(x)dx$

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