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[JZOJ5951] 鋒芒畢露 (【CodeChef June Challenge 2014】Sereja and Arcs）【平衡規劃】【計數】【樹狀陣列】

阿新 • • 發佈：2018-12-21

Description

給定一個長度為n的顏色序列a
求四元組 ( x , y , p , q )

, x < p < y < q , a
[ x ] = a [ y ] , a [
p ] = a [ q ] , a [ x ] ̸ = a [ p ] (x,y,p,q),x<p<y<q,a[x]=a[y],a[p]=a[q],a[x]\not =a[p] 的數量

Solution

以下為了方便說明，用大寫字母表示一種顏色， A B A B ABAB 就是一個合法四元組
直接計算比較繁瑣，考慮補集轉化

如果我們能算出 A B A B + B A A B ABAB+BAAB 和 B A A B BAAB 的數量，那就可以求出 A B A B ABAB 的數量了

考慮計算 A B A B + B A A B ABAB+BAAB ，這其實就相當於把 x < p x<p 的限制去掉了。

列舉 y y ，計算兩邊有多少對 ( p , q ) (p,q) ，再減掉y,q相同顏色的，乘上左邊x的數量就是答案

計算兩邊有多少對 ( p , q ) (p,q) ，可以維護增量，從左向右掃的時候，每向右一個位置，相當於將一個位置從右邊移到了左邊，加上多出來的減去刪掉的貢獻即可。

這樣 O ( n ) O(n) 就算完了

考慮如何計算 B A A B BAAB

直接用資料結構好像沒有什麼好的辦法，於是往平衡規劃的方向來想。

我們設定一個閾值 K K ，出現次數小於等於K的顏色記作Q，大於K的顏色記作P

那麼P的總數不超過 n / K n/K ,Q的大小的平方和不超過 n K nK
對於四元組分類討論

  • P _ _ P P\_\_P ：列舉顏色P，從左到右掃，設當前掃到位置 i i ，i之前P的出現次數為 s [ i ] s[i] ,它在顏色a[i]中是第t個，那麼明顯貢獻就是 ∑ j = 1 , a [ j ] = a [ i ] , a [ i ] ! = P i − 1 s [ j ] ∗ ( s i z e [ P ] − s [ i ] ) \sum\limits_{j=1,a[j]=a[i],a[i]!=P}^{i-1}s[j]*(size[P]-s[i]) 只需要用一個桶記一下i前面每個顏色的j的 s [ ] s[] 和即可。時間複雜度 O ( n 2 K ) O({n^2\over K})

  • Q P P Q QPPQ ：同樣列舉顏色P，從左到右掃，位置i的貢獻就是 ∑ j = 1 , a [ j ] = a [ i ] , a [ i ] ! = P i − 1 ( s [ i ] − s [ j ] 2 ) \sum\limits_{j=1,a[j]=a[i],a[i]!=P}^{i-1}{s[i]-s[j]\choose 2} ，把式子拆開，發現只需要多維護s[]的平方和即可。時間複雜度 O ( n 2 K ) O({n^2\over K})

  • Q 1 Q 2 Q 2 Q 1 Q_1Q_2Q_2Q_1 ：此時所有二元組 ( x , y ) , a [ x ] = a [ y ] , s i z e [ a [ x ] ] ≤ K (x,y),a[x]=a[y],size[a[x]]\leq K 的總數不超過nK，那麼我們將所有二元組 ( x , y ) (x,y) 看做二維平面上的點，現在就相當於求點 A ( x , y ) , B ( p , q ) , x < p < q < y A(x,y),B(p,q),x<p<q<y 的對數，就變成二維數點問題，將所有點按照縱座標從小到大掃一遍，樹狀陣列查詢即可。時間複雜度 O ( n K log ⁡ n ) O({nK \log n})

總複雜度為 O ( n 2 K + n K log ⁡ n ) O({n^2\over K}+nK\log n) ，容易發現當 K = n log ⁡ n K=\sqrt{n\over \log n} 時總複雜度最小，為 O ( n n log ⁡ n ) O(n\sqrt{n\log n})

Code

#pragma GCC optimize(2)
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define N 676676
#define mo 19260817
#define LL long long
using namespace std;
int n,a[N],d[N],n1,num;
vector<int> pt[N];
LL ans,c1[N],c2[N],cnt[N],le[N],ny2,c[N];
struct node
{
	int x,y;
	friend bool operator <(node x,node y) 
	{
		return x.y<y.y;
	}
}pr[N*20];
int lowbit(int k)
{
	return k&(-k);
 
 

            
  

           

              
              

            

            
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 給定一個長度為n的顏色序列a 求四元組
     
      
       
        
         (
        
        
         x
        
        
         ,
        
   



  
 

    


    
    
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題目描述 Description

給你N個數，有兩種操作：
1：給區間[a,b]的所有數增加X
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輸入描述 Input Description

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再接下來一個正整數Q，每行表示操作的個數，

 



  
 

    


    
    
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 傳送門：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1198 
 一道變式樹狀陣列 
 區別是從末尾開始建點 
 其他操作沒有變 
 差不多就是這樣，，很水的一道題 
 上程式碼 
 #include<bits/stdc++.h>
#define i 



  
 

    


    
    
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Time limit

3000 ms

Memory limit

32768 kB

OS

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Source



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  輸入描述 Input Descri 



  
 

    


    
    
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很久前寫的權值線段樹，因為luogu的資料更新了，不再保證每個數不相等，所以不能AC了。
然後又用樹狀陣列做了一遍，感覺要更適用一些。
程式碼：
#include<bits/