特徵值與特徵向量

定義： $A\vec{x}=\lambda \vec{x}$

由於P由n個線性獨立的向量組成，所以 $\vec{x}$肯定可以表示再P的基底下，即 $\vec{x}=I\vec{x}=a1\vec{P_1}+a2\vec{P_2}+…+an\vec{P_n}=P \left[\begin{matrix} a_1\\a_2\\ \vdots \\a_n \end{matrix} \right]$
則
$\vec{y}=A\vec{x}=AP \left[\begin{matrix} a_1\\a_2\\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right] \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = [A\vec{P_1} \ A\vec{P_2}\ A\vec{P_3} … A\vec{P_n}]\left[\begin{matrix} a_1\\a_2\\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right] \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =a_1\lambda_1\vec{P_1}+a_2\lambda_2\vec{P_2}+…+a_n\lambda_n\vec{P_n}$

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