一階梯度法、二階段梯度法、牛頓法

目標

有一個函式 $f(x)$ ,我們要求得函式的最小值（或者最大值），由於最值點一般也是極值點，所以求出所有極值點，然後進行對比就能得到我們要的最值，可以理解為一個最小二乘的問題 $\min$

⁡ x 1 2 ∥ f ( x

) ∥ 2 2 \min_x \frac {1}{2}\| f(x)\|^2_2 $x min \frac{1}{2} ∥ f (x) ∥_{2}^{2}$

解法

最暴力的方法，直接求解 $d$

1 2 ∥ f ( x ) ∥ 2 2 d x = 0 \frac {d \frac{1}{2}\|f(x)\|^2_2} {dx} =0

\frac{d \frac{1}{2} ∥ f ( x ) ∥ _{2}^{2}}{d x} = 0

當然，如果能夠直接解出結果，那就很好了，但是大多數情況下很難解。當沒法求解的時候，可以採用迭代的方法：

給定某個初始值 $x_0$ 。

對於第k次迭代，尋找一個增量 $\Delta x$ ,使得 $\|f(x_k+\Delta x)\|^2_2$ 達到極小值。

若 $\Delta x足夠小，則停止$ 。

否則，令 $x_{k+1}=x_k+\Delta x_k$ ,返回第2步。

下面介紹一下幾個迭代的方法,都是在找 $\Delta x$

一階梯度法

將 $f(x)$ 在x附近進行泰勒展開 $\|f(x+\Delta x)\|^2_2\approx\|f(x)\|^2_2+J(x)\Delta x+\frac{1}{2}\Delta x^TH\Delta x$
x是常量，同時也是個向量; $\Delta x$ 才是變數， $J(x)$ 是雅可比矩陣， $H$ 是海塞矩陣，可以將J(x)理解為矩陣形式的一階導數， $H$ 理解為矩陣形式的二階導數

導數：指的是函式值增加的速度，速度是個向量（有大小，有方向），在一維的情況下，也是一樣的，可以這樣理解，假設 $f(x)=\frac{1}{2}x^2$ ,則 $f^{'}(x)=x$ , $f(x)$ 是關於y軸對稱，最小值在原點的函式，當x<0的時候，導數也是<0的，當x>0的時候，導數是>0的，可以把±號看成方向。

梯度：梯度的本意是一個向量（向量），表示某一函式在該點處的方向導數沿著該方向取得最大值，即函式在該點處沿著該方向（此梯度的方向）變化最快，變化率最大（為該梯度的模）。
設f(x)是一個多元函式，則梯度是向量 $(\frac{d f(x)}{d x_1},\frac{d f(x)}{d x_2},…,\frac{d f(x)}{d x_n},…)$

雅可比矩陣：設 $y=f(x)$ ，x和y都是一個向量，則對應的雅可比矩陣為
$J=\begin{bmatrix} \frac{d y_1}{d x_1} & \frac{d y_1}{d x_2} & … &\frac{d y_1}{d x_n}\\ \\ \frac{d y_2}{d x_1} & \frac{d y_2}{d x_2} & … &\frac{d y_2}{d x_n}\\\\ … &…&…&… \\ \\ \frac{d y_m}{d x_1} & \frac{d y_m}{d x_2} & … &\frac{d y_m}{d x_n}\end{bmatrix}$

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