米勒拉賓素性測試

對於一個數n，如果想要判斷它是否為素數，常規的方法為試除法。即，讓n依次除以2到sqrt（n）以內的整數。如果有出現除盡的情況，則為合數。
該方法的時間複雜度為O（sqrt（n））在面對n為長整型的時候有可能超出時間要求。

因此普遍採用米勒拉賓演算法進行素性判定。在此之前介紹一種偽素數判定方法——小費馬定理。
小費馬定理為：若有素數p，則對任意的數a( a為正整數 ，且a < p)，$a^{p-1 } ≡ 1( mod$ $p )m$ 。反之，若有任意的a( a為正整數 ，且a < p)使得p不滿足 $a^{p-1}\equiv 1($

moda^{p-1} ≡ 1( mod $p )$ ，p一定為合數。
可以發現若是能夠舉出所有的a，都能滿足上式，是不是就說明p是素數呢？其實不是因為有一類合數也可以做到這一點，這一類合數叫做 Carmichael 數。前三個這樣的數是561 ，1105，1729。
這樣的數真讓人不爽。所以採用這種方法測出來的所謂素數是不一定的。叫做偽素數。哪怕你枚舉出所有的a，也不可避免。

在小費馬定理的基礎上有人設計出米勒拉賓隨機素數測試法。可以大大的提高檢測素數的正確性，但是同樣並非一定正確，錯誤可能性卻小到可以接受。

該方法同樣利用了列舉多個a的做法，以提高演算法的可靠性，對於每一個a，又採用了特殊的方法處理。這基於另外一個定理：如果p是素數，x是小於p的正整數，且$x^{}$

2modx^2 mod $p = 1$，那麼要麼$x=1$，要麼$x=p-1$。該定理證明如下：如果p為素數，x是小於p的正整數， 且$x^2 mod$ $p = 1$ ，說明p能夠整除$（x+1）（x-1）$。但是p是素數，那麼只可能是$x-1$能被$p$整除(此時$x=1$)或$x+1$q能被$p$整除(此時 $x=p-1$)。

判斷一個數是不是素數光靠上面的方法是不可靠的，因為p如果是合數的話，也有可能有$x^2 ≡ 1 mod(p)$

首先判斷要判斷的數n是不是2，在判斷n是不是奇數。然後儘可能的在令$d=n-1$，在$d$中除去2，使得$n=d*(2^t)$,d為奇數，t的值並不關心。如果n是一個素數，那麼或者$a^d mod$ $n=1$，或者存在某個i使得$a^{d*2^i} mod$ $n=n-1(0&lt;=i&lt;r )$（注意i可以等於0，這就把$a^d mod$ $n=n-1$的情況統一到後面去了）。

求$a^d mod(n)$的演算法以及求$d^2$的演算法是採用的快速冪取模演算法。但是在d為long long的情況下有可能乘法溢位。有更加優秀的演算法存在。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;

LL mulmod( LL a, LL b , LL p )
{
    LL  d =1;
    a = a%p;
    while( b>0 )
    {
        if(b&1)
            d = (d*a)%p;
        a = (a*a)%p;
        b>>=1;
    }
    return d;
}

bool witness( LL a,LL n)
{
    LL d = n-1 ;
    if( n ==2 ) return true ;
    if( !(n&1) ) return false ;
    while(!(d&1)) d = d/2;
    LL t = mulmod(a,d,n);
    while((d!=n-1) && (t!=1)&&(t!=n-1))
    {
        t = mulmod( t ,2,n);
        d=d<<1;
    }
    return (t==n-1)||(d&1);
}

bool isprime( LL n)
{
    int a[3] = {2,7,61};
    for(int i=0;i<3;i++)
        if(!witness(a[i],n))
            return false;
    return true;
}
int main()
{
    LL s;
    cin>>s;
    if(isprime(s))
        cout<<"YES";
    else
        cout<<"NO";
    return 0;
}