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引言

　　運算一直是程式運行當中一個重要的環節，而在二進位制的運算過程當中，加法運算又是重中之重，它基本上奠定了二進位制運算的基礎。因為無論是減法還是乘法，都可以由加法運算來替代，唯有除法不能由加法替代。

　　瞭解計算機運算的規律，可以有助於我們理解很多程式程式碼上無法理解的內容。比如上章提到的溢位問題，在瞭解了加法運算的原理之後，相信猿友們都可以輕鬆的知道為何有些運算會得到意想不到的結果。

　　這裡還需要提一點的是，不同的處理器所採取的運算方式可能是有細微的差別的，因此也不能一概而論。因此我們大多時候會盡量討論運算的抽象數學特性，抽象的東西大部分時候總是可靠的，這種特性為跨平臺提供了基礎，不過也並非總是如此，畢竟LZ只聽說過浮點數運算標準，還沒聽說過整數運算標準，不知道究竟是LZ孤陋寡聞了，還是確無此物。

　　正因如此，我們瞭解一下這些運算的抽象性，會有助於我們理解程式程式碼級無法理解的東西。

無符號乘法

　　無符號的乘法與加法類似，它的運算方式是比較簡單的，只是也可能產生溢位。對於兩個w位的無符號數來說，它們的乘積範圍在0到(2^w-1)²之間，因此可能需要2w位二進位制才能表示。因此由於位數的限制，假設兩個w位的無符號數的真實乘積為pro，根據截斷的規則，則實際得到的乘積為 pro mod 2^w。

補碼乘法

　　與加法運算類似，補碼乘法也是建立在無符號的基礎之上的，因此我們可以很容易的得到，對於兩個w位的補碼數來說，假設它們的真實乘積為pro，則實際得到的乘積為 U2T_w(pro mod 2^w)。

　　上面的式子我們有一個假設，就是假設對於w位的兩個補碼數來說，它們的乘積的低w位與無符號數乘積的低w位是一樣的。這意味著計算機可以使用一個指令執行無符號和補碼的乘法運算。

　　在書中給出了這一過程的證明，我們來大概看一下，這裡主要應用了無符號編碼和補碼編碼的關係，其中x’和y’分別代表x和y的補碼編碼。

　　這裡運用的主要技巧就是2^w mod 2^w = 0。

乘法運算的優化

　　根據我們小學所學的乘法運算，我們知道，假設兩個w位的二進位制數相乘，則需要進行w次與運算，然後進行w - 1次加法運算才能得到結果。從此不難看出，乘法運算的時間週期是很長的。因此計算機界的高手們想出了一種方式可以優化乘法運算的效率，就是使用移位和加法來替代乘法。

　　上述優化的前提是對於一個w位的二進位制數來說，它與2^k的乘積，等同於這個二進位制數左移k位，在低位補k個0。在書中對這一等式進行了證明，過程如下。

　　這個過程主要應用了無符號編碼的公式，各位猿友應該不難看懂。

　　有了上面的基礎，我們就可以使用移位和加法對乘法優化了。對於任意一個整數y，它總能使用二進位制序列表示（假設不超過二進位制的表示範圍），因此我們可以將x和y乘積的二進位制序列表示為如下形式（此公式在書中沒有展現）。

                                       x * y = x * (y_w-12^w-1 + ... + y₀2⁰) =  (x << w-1) * y_w-1 +....+ (x << 0 ) * y₀

　　我們舉個例子，對於x * 17，我們可以計算x * 16 + x = (x << 4) + x ，這樣算下來的話，我們只需要一次移位一次加法就可以搞定這個乘法運算。而對於x * 14，則可以計算 x * 8 + x * 4 + x * 2 = (x << 3) + (x << 2) + (x << 1) ，更快的方式我們可以這麼計算，x * 16 - x * 2 = (x << 4) - (x << 1) 。

　　這裡最後需要提一下的是，加法、減法和移位的速度並不會總快於乘法運算，因此是否要進行上面的優化就取決於二者的速度了。

無符號除法

　　除法與乘法不同，它不滿足加法的分配律，也就是設y = m + n ， x/y != x/m + x/n。而且不幸的是，它有時候會比乘法運算更慢，但是我們只能針對除數可表示為2^k的除法運算進行優化，轉換為算數右移或者邏輯右移k位的運算（無符號數為邏輯右移，為正數時，邏輯右移與算術右移效果一樣）。

　　由於是除法，因此我們會涉及到舍入的問題。這裡定義└x/y┘的值為a'，x/y為a，則對於a'，它是唯一一個整數，滿足 a' =< a < a'+1。

　　比如└2.1┘的值就為2，而對於└-2.1┘則為-3，如果本身就是整數，則等於自身。

　　書中給出了無符號數除以2^k等價於右移k位（w > k >= 0）的證明，這一證明過程相對比較複雜一點，LZ這裡給出一個相對簡單的證明方式，不採用書上的證明。如果各位看LZ的證明看不懂的話，也可以參照一下書上的方式。

　　我們假設對於一個w位的無符號數來說，假設它的位表示為[x_w-1....x₀]，則x = x_w-12^w-1 + .... + x₀2⁰ 。因此就有以下結果。

                          x/2^k = x_w-12^w-1-k +... + x_k2⁰ + x_k-12^-1 +...+ x₀2^-k = B2U_w-k([x_w-1....x_k]) + x_k-12^-1 +...+ x₀2^-k

　　由於x_k-12^-1 +...+ x₀2^-k <= 2^-1 + .... 2^-k = (1-(1/2)^k) < 1 （這裡是證明的關鍵一步，先假設所有位為1，則利用等比數列求和公式即可得到），因此有└x_k-12^-1 +...+ x₀2^-k┘ = 0。

　　因此我們可以得到└x/2^k┘ = └B2U_w-k([x_w-1....x_k])┘ + └x_k-12^-1 +...+ x₀2^-k┘ = └B2U_w-k([x_w-1....x_k])┘ = B2U_w-k([x_w-1....x_k]) = x >> k。

　　更直觀的，我們可以使用程式驗證這一結果，看下面的Java程式碼。

public class Main {
    
    public static void main(String[] args) {
        int a = 17;
        int b = 8;
        int c = a/b;
        System.out.println("a:" + Integer.toBinaryString(a));
        System.out.println("b:" + Integer.toBinaryString(b));
        System.out.println("c:" + Integer.toBinaryString(c));
        System.out.println("a >> 3:" + Integer.toBinaryString(a >> 3));
    }
}

　　這段程式的結果如下，可以看出a/b的結果就是a右移3位的結果，也就是結果等於a >> 3。

補碼除法

　　由於剛才我們的程式使用的都是正數，因此雖然Java中沒有無符號數，不過我們可以模擬出無符號數的效果。也可以認為，補碼除法在被除數為正數的情況下，與無符號編碼是一樣的效果（我們不考慮除數為負的情況，因為被除數與除數的符號位可以相互抵消，以下也一樣），不過當被除數為負數時就不同了。這裡在介紹補碼除法之前，我們先來看一下，當a為負數時的結果，也就是此時會採用補碼編碼。

　　我們將剛才的程式稍微修改一下，如下。

public class Main {
    
    public static void main(String[] args) {
        int a = -17;
        int b = 8;
        int c = a/b;
        System.out.println("a:" + Integer.toBinaryString(a));
        System.out.println("b:" + Integer.toBinaryString(b));
        System.out.println("c:" + Integer.toBinaryString(c));
        System.out.println("a >> 3:" + Integer.toBinaryString(a >> 3));
        System.out.println("c:" + c);
        System.out.println("a >> 3:" + (a >> 3));
    }
}

　　它得到的結果如下，有點出乎意料。

　　這次為了便於觀看，我們將c和a >> 3的整數值列印了出來，發現移位運算的結果是-3，而a/b的結果為-2。可以看出我們a/b的結果是我們所期望的，可是移位的運算結果似乎在舍入的時候出現了問題。

　　其實這個問題出現的原因很簡單，補碼編碼與無符號編碼類似，對於位表示都有└x/2^k┘= B2T_w-k([x_w-1....x_k]) = x >> k。不過此時由於是負數，所以採取了向下舍入。上面已經提到過└-2.1┘的值為-3。

　　因此，我們得到這樣一個結論，當有舍入發生時，將一個負數右移k位不等價於把它除以2^k。

除法的補救

　　既然在舍入時，一個負數右移k位不等價於把它除以2^k。那麼為了使用這種優化，計算機界的大神們自然要想辦法解決這個問題。於是他們想出了一個辦法，即“偏置”這個值（不得不佩服這些大神們）。

　　首先我們定義┌x/y┐的值為a'，x/y為a，則對於a'，它是唯一一個整數，滿足 a'-1 < a <= a'。

　　在上面的定義基礎上，“偏置”的含義就是，我們有┌x/y┐ = └(x+y-1)/y┘。這一過程的證明不難理解，我們假設x = ky + r（我們考慮r > 0 ，此時會有舍入發生），則有。

                   └(x+y-1)/y┘ = └(ky+r+y-1)/y┘ = k + └(r+y-1)/y┘ = k + 1

　　可以看出在做了這個處理之後，也就是將x加上y-1的偏移量，此時在舍入時，結果會在原來的基礎上加1。這也正是“偏置”的含義所在，它會將舍入“偏置”到向上舍入。

　　下面我們將補碼除法當中的程式按照這種方式修復一下，看是不是這個結果，如下。

public class Main {
    
    public static void main(String[] args) {
        int a = -17;
        int b = 8;
        int c = a/b;
        System.out.println("a:" + Integer.toBinaryString(a));
        System.out.println("b:" + Integer.toBinaryString(b));
        System.out.println("c:" + Integer.toBinaryString(c));
        System.out.println("(a+b-1) >> 3:" + Integer.toBinaryString((a+b-1) >> 3));
        System.out.println("c:" + c);
        System.out.println("(a+b-1) >> 3:" + ((a+b-1) >> 3));
    }
}

　　此處我們將a“偏置”，也就是加上b-1的偏移量，我們來看結果。

　　可以看出，在偏置之後，在負結果舍入時，移位運算的結果將會是我們期望得到的，這樣我們便可以使用這一技巧進行優化了。