§7.1  空間直角座標系

一、空間點的直角座標

平面直角座標系使我們建立了平面上的點與一對有序陣列之間的一一對應關係，溝通了平面圖形與數的研究。

為了溝通空間圖形與數的研究， 我們用類似於平面解析幾何的方法，通過引進空間直角座標系來實現。

1、空間直角座標系

過空間一定點，作三條互相垂直的數軸，它們以為原點，且一般具有相同的長度單位，這三條軸分別叫軸(橫軸)、軸(縱軸)、軸(豎軸)， 且統稱為座標軸。

通常把軸，軸配置在水平面上，而軸則是鉛垂線，它們的正方向要符合右手規則：

右手握住軸，當右手的四個指頭從軸的正向以角度轉向軸正向時，大拇指的指向就是軸正向。

三條座標軸就組成了一個空間直角座標系

， 點叫做座標原點。

註明：為使空間直角座標系畫得更富於立體感，通常把軸與軸間的夾角畫成左右。當然，它們的實際夾角還是。

2、座標面  卦限

三條座標軸中的任意兩條可以確定一個平面，這樣定出的三個平面統稱為座標面。

由軸與軸所決定的座標面稱為面，另外還有面與面。

三個座標面把空間分成了八個部分，這八個部分稱為卦限。

3、空間點的直角座標系

取定空間直角座標系之後，我們就可以建立起空間點與有序陣列之間的對應關係。

設為空間的一已知點，過點分別作垂直於軸、軸、軸的三個平面，它們與軸、軸、軸的交點依次為，這三點在軸、軸、軸的座標依次為，於是：空間點就唯一地確定了一個有序陣列，這組數叫點的座標。

依次稱

，，為點的橫座標、縱座標和豎座標，記為。

反過來，若已知一有序陣列，我們可以在軸上取座標為的點，在軸上取座標為的點，在軸取座標為的點，然後過、、分別作軸、軸、軸的垂直平面，這三個平面的交點就是以有序陣列為座標的空間點。

這樣，通過空間直角座標系，我們建立了空間點和有序陣列之間的一一對應關係。

註明：

空間點的位置可以由空間直角座標系中的三個座標唯一確定， 因此， 常稱我們生活的空間為三度空間或三維空間 ”。 事實上，我們的生活空間應該是四度空間，應加上時間變數。即：，它表示在時刻所處的空間位置是。

二、空間兩點間的距離公式

設、為空間的兩點，則兩點間的距離為

證明：

過、各作三個分別垂直於三座標軸的平面，這六個平面圍成一個以

為對角線的長方體，如圖所示

是直角三角形， 故

是直角三角形， 故

從而  

而    

故    

特別地，點與座標原點的距離為

§7.2  向量、向量的加減法與向量的數乘

一、向量的概念

既有大小，又有方向的量稱之為向量。

數學上用一條有方向的線段(即有向線段)來表示向量。有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向。

以為始點，為終點的有向線段所表示的向量記為。

有時也有粗體字母或一個上面加有箭頭的字母表示向量，如向量、、或 、、 等等。

向量的大小稱作向量的模。

向量與的模記作與。

模等於1的向量稱作單位向量。

模等於0的向量稱作零向量，並記作，並規定：零向量的方向為任意的。

在直角座標系中，以座標原點為始點，向一點引向量，這個向量稱作點對於原點  的向徑，常用表示。

實際問題中，有些向量與始點有關，而有些向量與始點無關，但一切向量的共性是：它們都有大小和方向。因此，在數學上我們只研究與始點無關的向量，並稱這種向量為自由向量，簡稱向量。

當遇到與始點有關的向量時(例如：質點運動的速度)，可在一般原則下作特殊處理。

定義兩向量、相等的意義如下：

若向量與向量的模相等，又互相平行，且指向一致，則稱向量與向量相等，並記作。

顯然，若，經過平行移動之後，與能完全重合在一起。

二、向量的加減法

據力學實驗的結果，兩個力的合力可根據平行四邊形法則求出。

我們對向量規定加法運算如下：

設、，以與為邊作一平行四邊形，取對角線向量，記，稱為與之和，並記作

這種用平行四邊形的對角線向量來規定兩個向量之和的方法稱作向量加法的平行四邊形法則。

如果向量與向量在同一直線上，那麼，規定它們的和是這樣一個向量：

若與的指向相同時，和向量的方向與原來兩向量相同，其模等於兩向量的模之和。

若與的指向相反時，和向量的模等於兩向量的模之差，其方向與模值大的向量方向一致。

由於平行四邊形的對邊平行且相等，可以這樣來作出兩向量的和向量：

 作，以的終點為起點作，聯接得

。

該方法稱作向量加法的三角形法則。

向量加法的三角形法則的實質是：

將兩向量的首尾相聯，則一向量的首與另一向量的尾的連線就是兩向量的和向量。

據向量的加法的定義，可以證明向量加法具有下列運算規律：

1、交換律  

2、結合律  

與的模相同而方向相反的向量叫的負向量，記作。我們規定兩向量與的差為：。

特別地，

由三角形法則可看出：要從減去，只要把與長度相同而方向相反的向量加到向量上去。由平行四邊形法則，可如下作出向量。

 

三、向量與數量的乘法

設是一個數量，向量與的乘積規定如下：

1、當時，向量的方向與的方向相同，其模等於的倍，

即    ；

2、當時，向量是零向量，即 ；

3、當時，向量的方向與的方向相反，其模等於的倍，

即    。

特別地，取，則向量的模與的模相等，而方向相反，由負向量的定義知： 。

據向量與數量乘積的定義，可匯出數乘向量運算符合下列運算規律：

1、結合律  

顯然，向量、、的方向是一致，

且  =  == ·

2、分配律

一個常用的結論：

若( 為數量 )，則向量與向量平行，記作；反之，若向量與向量平行，則 ( 是數量)。

簡言之，。

設是非零向量，用表示與同方向的單位向量。

由於與同方向，從而與亦同方向，而且

。

即    。

我們規定：若， 。於是  。

這表明：一個非零向量除以它的模是一個與原向量同方向的單位向量。

請注意：向量之間並沒有定義除法運算，因此決不能將式子改寫成形式  。

十分顯然，這種錯誤是受實數運演算法則的“慣性作用”所造成。

§7.3  向量的座標

一、向量在軸上的投影與投影定理

1、空間兩向量的夾角

設有兩向量、交於點(若、不相交，可將其中一個向量平移使之相交)，將其中一向量繞點在兩向量所決定的平面內旋轉，使它的正方向與另一向量的正方向重合，這樣得到的旋轉角度(限定)稱為、間的夾角，記作。

若、平行，當它們指向相同時，規定它們之間的夾角為；當它們的指向相反時，規定它們的夾角為。

類似地，可規定向量與數軸間的夾角

將向量平行移動到與數軸相交，然後將向量繞交點在向量與數軸所決定的平面內旋轉， 使向量的正方向與數軸的正方向重合， 這樣得到的旋轉角度稱為向量與數軸的夾角。

2、空間點在軸上的投影

設已知點及軸，過點作軸的垂直平面，則平面與軸的交點叫做點在軸上的投影。

3、向量在軸上的投影

設向量的始點與終點在軸的投影分別為、， 那麼軸上的有向線段的值叫做向量在軸上的投影， 記作 ， 軸稱為投影軸。

這裡，的值是這樣的一個數值。

(1)、即， 數的絕對值等於向量的模。

(2)、當的方向與軸的正向一致時，；當的方向與軸的正向相反時，。

4、投影定理

【定理】向量在軸上的投影等於向量的模乘以軸與向量的夾角的餘弦。即

【證明】過向量的始點引軸，且軸與軸平行且具有相同的正方向，那未軸與向量的夾角等於軸與向量的夾角，而且有

故  

由上式可知：

向量

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