Strange fuction

Description

Input

Output

Sample Input

2
100
200

Sample Output

-74.4291
-178.8534

題意：給定Y，求當0<=x<=100時f(x)的最小值。

解題思路：首先看這個函式並沒有單調性可言，但是我們對其求導之後發現

f'(x)=42x^6+48x^5+21x^2+10^x-y.

容易發現 f'(x) 在[0,100]上是一個單調遞增的函式，那麼問題就簡單了，如果f'(x)在[0,100]上存在零點x0，那麼f(x0)必然就是所求的最小值，怎麼求零點？二分查詢啊~

如果不存在零點，也就是f'(100)<0或者f'(0)>0的情況，意味著f(x)單調遞減或者單調遞增，那麼直接輸出f(100)或f(0)就可以了。

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <cstdio>
using namespace std;

const double EPS=1e-5;

double y;

double f(double x)
{
    return 6*pow(x,7)+8*pow(x,6)+7*pow(x,3)+5*pow(x,2)-y*x;
}

double f2(double x) //f(x)求導
{
    return 42*pow(x,6)+48*pow(x,5)+21*pow(x,2)+10*x;
}

double bs()
{
    double lo=0,hi=100;
    double mi;
    while(1)
    {
        mi=(lo+hi)/2.0;//浮點數問題就別移位運算了
        if(fabs(f2(mi)-y)<EPS) return mi;
        else if(f2(mi)>y)
            hi=mi;
        else
            lo=mi;
    }
    return -1;
}


int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>y;
        if(f2(100)-y<0)
            printf("%.4f\n",f(100));
        else if(f2(0)-y>0)
            printf("%.4f\n",f(0));
        else
            printf("%.4f\n",f(bs()));

    }
    return 0;
}
 

</pre><p></p><p><span style="font-family:SimHei;font-size:18px;">以上說的是使用二分查詢的方法，但是這道題也可以使用三分。</span></p><p><span style="font-family:SimHei;font-size:18px;">可以用二分的方法AC之後再試一下用三分解這道題，可以作為練習三分的入門題。</span></p><p><span style="font-family:SimHei;font-size:18px;">用三分查詢可以直接求得單峰函式的極值</span></p><p><span style="font-family:SimHei;font-size:18px;"></span><pre name="code" class="cpp">#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
using namespace std;

const double EPS=1e-6;
double y;

double f(double x)
{
    return 6*pow(x,7)+8*pow(x,6)+7*pow(x,3)+5*pow(x,2)-y*x;
}

double ts()
{
    double l=0,r=100,mid,mmid;
    mid=(l+r)/2.0;
    mmid=(mid+r)/2.0;
    while(fabs(mid-mmid)>EPS)
    {
        mid=(l+r)/2.0;
        mmid=(mid+r)/2.0;
        if(f(mid)<f(mmid))
            r=mmid;
        else
            l=mid;
    }
    return f(mid);
}



int main()
{
    int repeat;
    cin>>repeat;
    while(repeat--)
    {
        cin>>y;
        printf("%.4lf\n",ts());
    }
    return 0;
}