poj - 1185 炮兵陣地 狀壓DP 解題報告
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Description
司令部的將軍們打算在N*M的網格地圖上部署他們的炮兵部隊。一個N*M的地圖由N行M列組成，地圖的每一格可能是山地（用"H" 表示）。也可能是平原（用"P"表示），例如以下圖。在每一格平原地形上最多可以布置一支炮兵部隊（山地上不可以部署炮兵部隊）。一支炮兵部隊在地圖上的攻擊範圍如圖中黑色區域所看到的：
假設在地圖中的灰色所標識的平原上部署一支炮兵部隊，則圖中的黑色的網格表示它可以攻擊到的區域：沿橫向左右各兩格，沿縱向上下各兩格。圖上其他白色網格均攻擊不到。從圖上可見炮兵的攻擊範圍不受地形的影響。
如今，將軍們規劃怎樣部署炮兵部隊，在防止誤傷的前提下（保證不論什麽兩支炮兵部隊之間不能互相攻擊。即不論什麽一支炮兵部隊都不在其它支炮兵部隊的攻擊範圍內），在整個地圖區域內最多可以擺放多少我軍的炮兵部隊。
Input
第一行包括兩個由空格切割開的正整數。分別表示N和M；接下來的N行，每一行含有連續的M個字符(‘P‘或者‘H‘)，中間沒有空格。
按順序表示地圖中每一行的數據。N <= 100；M <= 10。
Output
僅一行。包括一個整數K，表示最多能擺放的炮兵部隊的數量。Sample Input
5 4 PHPP PPHH PPPP PHPP PHHP
Sample Output
6
題解：
假設用 dp[i]表示前i行所能放的最多炮兵數目， 是否能形成遞推關系？ 顯然不能。由於不滿足無後效性。
依照加限制條件加維度的思想，加個限制條件：dp[i][j]表示第i行的炮兵布局為j的前提下，前i行所能放的最多炮兵數目布局為j體現了狀態壓縮。j是個10位二進制數，表示一行炮兵的一種布局。有炮兵的位置。相應位為1。沒有炮兵的位置，相應位為0。
依舊不滿足無後效性。因僅從 dp[i-1][k] (k = 0…1024) 無法推出dp[i][j]。達成 dp[i-1][k]可能有多種方案，有的方案同意第i行布局為j,有的方案不同意第i行布局為j，然而卻沒有信息能夠用來進行分辨。
再加限制條件，再加一維：dp[i][j][k]表示第i行布局為j,第i-1行布局為k時,前i行的最多炮兵數目。
1）j,k這兩種布局必須相容。否則 dp[i][j][k] = 0
2) dp[i][j][k] = max{dp[i-1][k][m], m = 0...1023} + Num(j), Num(j)為布局j中炮兵的數目, j和m必須相容, k和m必須相容。此時滿足無後效性。
3) 初始條件：dp[0][j][0] = Num(j)dp[1][i][j] = max{dp[0][j][0]} + Num(i)
問題：dp數組為：int dp[100][1024][1024], 太大，時間復雜度和空間復雜度都太高。
解決：每一行裏最多能放4個炮兵。就算全是平地，能放炮兵的方案數目也不超過60(用一遍dfs能夠所有求出）算出一行在全平地情況下所有炮兵的排列方案，存入數組 state[70]int dp[100][70][70] 足矣。
dp[i][j][k]表示第i行布局為state[j],第i-1行布局為state[k]時,前i行的最多炮兵數目。
參考代碼：
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 105;
int Map[N];
int dp[N][65][65];
int s[N], num[N];
int n, m, p;
bool check(int x) {
if(x & (x >> 1)) return false;
if(x & (x >> 2)) return false;
return true;
}
int Count(int x) {
int i = 1, ans = 0;
while(i <= x) {
if(x & i) ans++;
i <<= 1;
}
return ans;
}
void Init() {
p = 0;
memset(s, 0, sizeof(s));
memset(num, 0, sizeof(num));
for(int i = 0; i < (1 << m); i++) {
if(check(i)) {
s[p] = i;
num[p++] = Count(i);
}
}
}
int main() {
char ch;
int T;
scanf("%d%d", &n, &m);
if(!n && !m) {
printf("0\n");
}
else{
memset(dp, 0, sizeof(dp));
memset(Map, 0, sizeof(Map));
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < m; j++) {
cin >> ch;
if(ch == ‘H‘)
Map[i] = Map[i] | (1 << (m - 1 - j)); //P為0，H為1
}
}
Init();
// printf("p = %d\n", p);
// for(int i = 0; i < p; i++) {
// printf("s[%d] = %d, num[%d] = %d\n", i, s[i], i, num[i]);
// }
for(int i = 0; i < p; i++) {
if(!(Map[0] & s[i]))
dp[0][i][0] = num[i];
}
for(int i = 0; i < p; i++) {
if(!(Map[1] & s[i])) {
for(int j = 0; j < p; j++) {
if((!(s[i] & s[j]))) {
dp[1][i][j] = max(dp[1][i][j], dp[0][j][0] + num[i]);
}
}
}
}
for(int r = 2; r < n; r++) {
for(int i = 0; i < p; i++) {
if(!(s[i] & Map[r])) {
for(int j = 0; j < p; j++) {
if(!(s[j] & Map[r-1])) {
if(!(s[i] & s[j])) {
for(int k = 0; k < p; k++) {
if(!(s[k] & Map[r-2])) {
if(!(s[j] & s[k])) {
if(!(s[i] & s[k])) {
dp[r][i][j] = max(dp[r][i][j], dp[r-1][j][k] + num[i]);
}
}
}
}
}
}
}
}
}
}
int ans = 0;
for(int i = 0; i < p; i++) {
for(int j = 0; j < p; j++) {
if(ans < dp[n-1][i][j])
ans = dp[n-1][i][j];
}
}
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}
poj - 1185 炮兵陣地 狀壓DP 解題報告