史上最易懂的01揹包，完全揹包，多重揹包講解
PS：大家覺得寫得還過得去，就幫我把部落格頂一下，謝謝。
首先說下動態規劃，動態規劃這東西就和遞迴一樣，只能找區域性關係，若想全部列出來，是很難的，比如漢諾塔。你可以說先把除最後一層的其他所有層都移動到2，再把最後一層移動到3，最後再把其餘的從2移動到3，這是一個直觀的關係，但是想列舉出來是很難的，也許當層數n=3時還可以模擬下，再大一些就不可能了，所以，諸如遞迴，動態規劃之類的，不能細想，只能找區域性關係。
1.漢諾塔圖片
（引至杭電課件:DP最關鍵的就是狀態，在DP時用到的陣列時，也就是儲存的每個狀態的最優值，也就是記憶化搜尋）
要了解揹包，首先得清楚動態規劃：
動態規劃演算法可分解成從先到後的4個步驟：
1. 描述一個最優解的結構；
2. 遞迴地定義最優解的值；
3. 以“自底向上”的方式計算最優解的值；
4. 從已計算的資訊中構建出最優解的路徑。
其中步驟1~3是動態規劃求解問題的基礎。如果題目只要求最優解的值，則步驟4可以省略。
揹包的基本模型就是給你一個容量為V的揹包
在一定的限制條件下放進最多(最少?)價值的東西
當前狀態→ 以前狀態
看了dd大牛的，迷糊中帶著一絲清醒，這裡我也總結下01揹包，完全揹包，多重揹包這三者的使用和區別，部分會引用dd大牛的《揹包九講》，如果有錯，歡迎指出。
首先我們把三種情況放在一起來看：
01揹包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一個容量為V的揹包。（每種物品均只有一件
完全揹包(CompletePack): 有N種物品和一個容量為V的揹包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
多重揹包(MultiplePack): 有N種物品和一個容量為V的揹包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
比較三個題目，會發現不同點在於每種揹包的數量，01揹包是每種只有一件，完全揹包是每種無限件，而多重揹包是每種有限件。
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先來分析01揹包：
01揹包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一個容量為V的揹包。（每種物品均只有一件）第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。
這是最基礎的揹包問題，特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。
其實就是把揹包的上限從改成1-m，求i為上限的最大價值
用子問題定義狀態：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一個容量為v的揹包可以獲得的最大價值。則其狀態轉移方程便是：
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
把這個過程理解下：在前i件物品放進容量v的揹包時，
它有兩種情況：
第一種是第i件不放進去，這時所得價值為:f[i-1][v]
第二種是第i件放進去，這時所得價值為：f[i-1][v-c[i]]+w[i]
（第二種是什麼意思？就是如果第i件放進去，那麼在容量v-c[i]裡就要放進前i-1件物品）
最後比較第一種與第二種所得價值的大小，哪種相對大，f[i][v]的值就是哪種。
（這是基礎，要理解！）
這裡是用二位陣列儲存的，可以把空間優化，用一位陣列儲存。
用f[0..v]表示，f[v]表示把前i件物品放入容量為v的揹包裡得到的價值。把i從1~n(n件)迴圈後，最後f[v]表示所求最大值。
*這裡f[v]就相當於二位陣列的f[i][v]。那麼，如何得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]？（重點！思考）
首先要知道，我們是通過i從1到n的迴圈來依次表示前i件物品存入的狀態。即：for i=1..N
現在思考如何能在是f[v]表示當前狀態是容量為v的揹包所得價值，而又使f[v]和f[v-c[i]]+w[i]標籤前一狀態的價值？
逆序！
這就是關鍵！
| 1 2 3 |
for
i=1..N
forv=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
|
分析上面的程式碼：當內迴圈是逆序時，就可以保證後一個f[v]和f[v-c[i]]+w[i]是前一狀態的！
這裡給大家一組測試資料：
測試資料：
10,3
3,4
4,5
5,6
這個圖表畫得很好，藉此來分析：
C[v]從物品i=1開始，迴圈到物品3，期間，每次逆序得到容量v在前i件物品時可以得到的最大值。（請在草稿紙上自己畫一畫）
其中：根據是否把整個書包都裝滿，賦初值也不一樣，只求最大價值，初始化f全都為0，要把整個書包裝滿f【0】= 0；其餘都是-1；
這裡以一道題目來具體看看：
分析：
具體根據上面的解釋以及我給出的程式碼分析。這題很基礎，看懂上面的知識應該就會做了。
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完全揹包：
完全揹包(CompletePack): 有N種物品和一個容量為V的揹包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
完全揹包按其思路仍然可以用一個二維陣列來寫出：
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}
同樣可以轉換成一維陣列來表示：
虛擬碼如下：
| 1 2 3 |
for
i=1..N
forv=0..V
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}
|
順序！
想必大家看出了和01揹包的區別，這裡的內迴圈是順序的，而01揹包是逆序的。
現在關鍵的是考慮：為何完全揹包可以這麼寫？
在次我們先來回憶下，01揹包逆序的原因？是為了是max中的兩項是前一狀態值，這就對了。
那麼這裡，我們順序寫，這裡的max中的兩項當然就是當前狀態的值了，為何？
因為每種揹包都是無限的。當我們把i從1到N迴圈時，f[v]表示容量為v在前i種揹包時所得的價值，這裡我們要新增的不是前一個揹包，而是當前揹包。所以我們要考慮的當然是當前狀態。
這裡同樣給大家一道題目：
（分析程式碼也是學習演算法的一種途徑，有時並不一定要看演算法分析，結合題目反而更容易理解。）
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多重揹包
多重揹包(MultiplePack): 有N種物品和一個容量為V的揹包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
這題目和完全揹包問題很類似。基本的方程只需將完全揹包問題的方程略微一改即可，因為對於第i種物品有n[i]+1種策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i種物品恰放入一個容量為v的揹包的最大權值，則有狀態轉移方程：
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}
這裡同樣轉換為01揹包：
普通的轉換對於數量較多時，則可能會超時，可以轉換成二進位制（暫時不瞭解，所以先不講）
對於普通的。就是多了一箇中間的迴圈，把j=0~bag[i]，表示把第i中揹包從取0件列舉到取bag[i]件。
給出一個例題：
因為限於個人的能力，我只能講出個大概，請大傢俱體還是好好看看dd大牛的《揹包九講》。