今天晚上我學習了矩陣

1、快速冪

通常，我們要算bpmodk$b^{p}modk$是這麼算的：

ans := 1;
for i := 1 to p do
    ans := ans * b mod k;

顯然，時間複雜度是O(p)
但是萬一p很大，比如p≤109$p\le {10}^9$呢，暴力顯然是Tle了
那麼快速冪可以將O(p)優化成O(logp)級別
同樣是算bpmodk$b^{p}modk$，快速冪的核心部分：

function pow(b,p,k:int64):int64;

begin
    if p = 0 then exit(1 mod k);
    pow := pow(b,p >> 1
 
,k);
    pow := pow * pow mod k;
    if p mod 2 = 1 then pow := pow * b mod k;
end;

var
    b,p,k:int64;

function pow(b,p,k:int64):int64;

begin
    if p = 0 then exit(1 mod k);
    pow := pow(b,p >> 1,k);
    pow := pow * pow mod k;
    if p mod 2 = 1 then pow := pow * b mod k;
end;

begin
 

    readln(b,p,k);
    writeln(b,'^',p,' mod ',k,'=',pow(b,p,k));
end.

2、矩陣

關於矩陣，這裡講的很好
矩陣，就是像這樣的：
8 2 3 6
1 8 3 6
2 8 3 7
顯然，這是一個3*4的矩陣

那麼矩陣的運算呢？

• 矩陣加法
  矩陣的加法就是對應位置加起來，即cij=aij+bij$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$
• 矩陣減法
  矩陣的減法與加法類似，即cij=aij−bij$c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$
• 矩陣乘一個數
  簡單的，就是矩陣中每一個數乘當前數
• 矩陣乘法
  矩陣的乘法比較複雜，而且必須是m*p的矩陣與p*n的矩陣相乘得到一個m*n的矩陣
  公式是
  cij=sigma(aik∗bkj)$c_{ij}=sigma(a_{ik}\ast b_{kj})$

3、矩陣快速冪

顧名思義，就是矩陣的快速冪。。
放一道模板題有助消化
針對這道題來講
暴力矩陣乘法會Tle
探究一下矩陣的運算滿足的法則

• 乘法交換律，顯然不行，因為矩陣的乘法是有要求的
• 乘法結合律，滿足，即(AB)C=A(BC)$(AB)C=A(BC)$

滿足結合律，說明什麼？
可以用快速冪！！！
那麼，矩陣的快速冪我們給他一個名字：矩陣快速冪

如何實現？
套快速冪的模板！只要把普通乘法部分改成矩陣乘法就好了

不過有一個問題：矩陣的0次冪是什麼？
因為任何數的0次冪是1，我們也發現了一個特殊的矩陣：左上右下對角線為1，其他都為0的矩陣
任何數乘1都為本身，任何矩陣乘這個矩陣也不變，那麼我們初始化成這個矩陣就好了
Code：

const mo = 1000000007;
type
    ar = array[0..100,0..100] of int64;
var
    a,b,c:ar;
    n,m:int64;
    i,j:longint;

procedure mul(a,b:ar);
var
    i,j,k:longint;

begin
    fillchar(c,sizeof(c),0);
    for i := 1 to n do
        for j := 1 to n do
            for k := 1 to n do
                c[i][j] := (c[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) mod mo;
end;

procedure update(var a:ar;b:ar);
var
    i,j:longint;

begin
    for i := 1 to n do
        for j := 1 to n do
            a[i][j] := b[i][j];
end;

procedure pow(p:int64);
var
    i,j,k:longint;

begin
    if p = 0 then
    begin
        for i := 1 to n do a[i][i] := 1;
        exit;
    end;
    pow(p >> 1);
    mul(a,a);
    update(a,c);
    if p mod 2 = 1 then
    begin
        mul(a,b);
        update(a,c);
    end;
end;

begin
    readln(n,m);
    for i := 1 to n do
    begin
        for j := 1 to n do
            read(b[i][j]);
        readln;
    end;
    pow(m);
    for i := 1 to n do
    begin
        for j := 1 to n do write(a[i][j],' ');
        writeln;
    end;
end.

用Fibonacci數列練練手：LuoGu1962
首先，我們需要推匯出一個矩陣，使得通過乘這個矩陣，我們手中的數列可以發展下去
由斐波那契公式fi=fi−1+fi−2$f_i=f_{i-1}+f_{i-2}$可知第i項只與前兩項有關
那麼可以構造一個列向量B:

因為：
fi=fi−1∗1+fi−2∗1$f_i=f_{i-1}\ast 1+f_{i-2}\ast 1$
fi−1=fi−1∗1+fi−2∗0$f_{i-1}=f_{i-1}\ast 1+f_{i-2}\ast 0$
所以我們可以建立矩陣：

那就先求後面那個矩陣的次冪，再乘列向量B得到答案
Code：

const mo = 1000000007;
type
    ar = array[0..10,0..10] of int64;
var
    a,b,c:ar;
    d,e:array[0..100] of int64;
    i,j:longint;
    n:int64;

procedure mul(a,b:ar);
var
    i,j,k:longint;

begin
    fillchar(c,sizeof(c),0);
    for i := 1 to 2 do
        for j := 1 to 2 do
            for k := 1 to 2 do
                c[i][j] := (c[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) mod mo;
end;

procedure update(var a:ar;b:ar);
var
    i,j:longint;

begin
    for i := 1 to 2 do
        for j := 1 to 2 do
            a[i][j] := b[i][j];
end;

procedure pow(p:int64);
var
    i:longint;

begin
    if p = 0 then
    begin
        for i := 1 to 2 do a[i][i] := 1;
        exit;
    end;
    pow(p >> 1);
    mul(a,a);
    update(a,c);
    if p mod 2 = 1 then
    begin
        mul(a,b);
        update(a,c);
    end;
end;

begin
    readln(n);
    if n <= 2 then
    begin
        writeln(1);
        halt;
    end;
    dec(n,2);
    b[1][1] := 1;
    b[1][2] := 1;
    b[2][1] := 1;
    pow(n);
    fillchar(c,sizeof(c),0);
    d[1] := 1; d[2] := 1;
    for i := 1 to 2 do
        for j := 1 to 2 do
            e[i] := (e[i] + a[i][j] * d[j]) mod mo;
    writeln(e[1]);
end.

再來一個模板：LuoGu1939
題目給出：
a1=a2=a3=1$a_1=a_2=a_3=1$
ai=ai−1+ai−3(i>3)$a_i=a_{i-1}+a_{i-3}(i>3)$
我們按照剛才斐波那契的套路構造矩陣
首先，構造列向量

因為：
fi=fi−1∗1+fi−2∗0+fi−3∗1$f_i=f_{i-1}\ast 1+f_{i-2}\ast 0+f_{i-3}\ast 1$
fi